Variables aléatoires discrètes/Loi de Poisson

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Loi de Poisson
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Chapitre 6
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chap. préc. : Loi hypergéométrique
Chap. suiv. : Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson


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Variables aléatoires discrètes/Loi de Poisson », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi de Poisson si :

p(k) = \mathbb{P}(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,

où λ est un nombre réel strictement positif appelé paramètre de la loi

[modifier] Espérance

Théorème

L'espérance d'une loi de Poisson est λ.


Démonstration

Si X\, suit une loi de poisson de paramètre \lambda\,, soit X \sim \mathcal{P}(\lambda)\,.

Alors, on a par définition que \mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} et que:

\mathbb{E}(X)=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,\mathbb{P}(X=k)

\mathbb{E}(X)=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

\mathbb{E}(X)=e^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}

\mathbb{E}(X)=\lambda\,e^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} (cf. développement en série entière de e^{x}\,)

\mathbb{E}(X)=\lambda\,e^{-\lambda}\,e^{\lambda}\,=\lambda

[modifier] Variance

Théorème
  • La variance d'une loi de Poisson est λ.
  • Son écart type est donc \sqrt{\lambda}


Démonstration

V(X)= \mathbb{E}(X^2) - ( \mathbb{E}(X) ) ^2

V(X)=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,\mathbb{P}(X=k) - \lambda^2

V(X)=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{k\lambda^{k-1}}{(k-1)!} - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{d}{d\lambda}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda}[\lambda\sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}] - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda}[\lambda\,e^{\lambda}] - \lambda^2

V(X)=\lambda\,e^{-\lambda}(\lambda+1)\,e^{\lambda} - \lambda^2

V(X) = λ(λ + 1) − λ2

V(X) = λ

Son écart type est donc \sqrt{\lambda}


[modifier] La loi de Poisson ... concrètement

[modifier] Modèle

  • Si, sur une période T, un événement ponctuel aléatoire arrive en moyenne λ fois.
  • On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...
  • On peut démontrer alors que X suit une loi de Poisson de paramètre λ

[modifier] Domaine d'application

  • Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées .
  • Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, …
Crystal Clear action back.png Loi hypergéométrique
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