Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

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Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
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Chapitre 3
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chap. préc. : Loi de Poisson
Chap. suiv. : Sommaire


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Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Comparaison des modèles

  • Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d'avoir un nombre donné k de succès sur un certain n nombre d'essais indépendants.
  • Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d'avoir k succès (attention, ceci est juste une façon de parler, les succès peuvent être ... des pannes !) sur une période T avec un taux de succès λ.
  • On peut donc imaginer qu'en "découpant" la période T en n petits intervalles de temps, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson, à condition que n soit grand.

[modifier] Approximation poissonnienne, version simplifiée

Théorème

Pour n "assez grand" (n > 30) et pour p voisin de 0 (p\leq 0,1) tels que np(1-p)\leq 10,

on peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson P(λ), où λ = np.

  • On a alors :
p(X=k)\approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

[modifier] Exemple

Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défecteuses.

  • X suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres :
Solution

Les paramètres se déduisent de la définitions du problème :
\left\{ \begin{array}{ll} p=5%=0.05\\ n=120 \end{array} \right.

  • Calculons p(x=5).
Solution

Selon la définition de la loi de probabilité binomaile on a :
B_p^n : P[X=k] = \mathcal{C}_n^k.p^k.(1-p)^{n-k}
dans notre cas on a cherche la probabilité P[X = 5], il suffit de remplacer les variable par leur valeur :
P[X=5] = \mathcal{C}_{120}^5.0.05^5.(0.95)^{115}
numériquement la probabilité est P[X=5] \approx 0.16335689

  • Montrer qu'une approximation poissonnienne convient.
Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

  • Calculer p(X=5) avec cette approximation.
Solution

Notre approximation Poissonienne est :
\Pi(\lambda) : P[X=k] = \frac{\lambda^k}{k!}.e^{-\lambda} avec λ = np( = 6 < 10)
On cherche l'approximation de la probabilité P[X = 5] suivant la loi Π(np) :
P[X=5] = \frac{(np)^k}{k!}.e^{-np} = \frac{6^5}{5!}.e^{-6} \approx 0.16062314

  • Comparer les résultats.
Comparaison

Il est clair que les probabilités sont très semblables : 0.16335689 \approx 0.16062314
L'erreur commise en réalisant cette approximation est \approx 0.00273375
soit \frac{0.00273375}{0.16335689} \approx 0.0167348313%

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