Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale
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| Chapitre 3 | |||
| Leçon : Variables aléatoires discrètes | |||
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| Chap. préc. : | Loi de Bernoulli | ||
| Chap. suiv. : | Loi géométrique | ||
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Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Définition
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Définition |
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Une variable aléatoire discrète suit une loi binomiale si : ![\forall k \in [0;n] \mathbb{P}(X = k)= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}](http://upload.wikimedia.org/math/d/b/5/db54ffa9e8224ac41e39f370e1bf109b.png) où p est un nombre réel commpris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi, et n un entier positif. On note cette loi |
.Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur [0;n] :
d'après la formule du binôme de Newton.
[modifier] Moments
[modifier] Espérance
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Théorème |
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L'espérance d'une loi binomiale est np. |
En utilisant la propriété :
On a, par linéarité :
[modifier] Variance
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Théorème |
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En utilisant la propriété :
On a, grâce à l'indépendance des variables :
[modifier] Applications de la loi binomiale
[modifier] Épreuves de Bernoulli
L'illustration la plus classique de la loi binomiale se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, si 
sont n variables aléatoires indépendantes de même loi, la loi de Bernoulli de paramètre p, alors leur somme 
suit une loi binomiale de paramètres n et p.
En effet, si suivent une loi de Bernoulli, elles prennent toutes pour valeurs 0 ou 1, donc leur somme Sprend des valeurs entre 0 et n.
Ensuite, il faut calculer 
, soit, parmi les n variables, la probabilité que k d'entre elles valent 1. Connaissant le paramètre p, on déduit la valeur recherchée.
[modifier] Loi binomiale négative
La loi binomiale négative s'inspire de la définition de la loi binomiale, mais s'intéresse aux nombres d'échec :
On réalise des tirages indépendants d'une loi de Bernoulli de paramètre p jusqu'à obtenir n succès. Le nombre d'échecs obtenus est une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative.
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Loi binomiale négative |
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Une variable aléatoire discrète suit une loi binomiale négative si :  où p est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi, et n un entier positif. On note cette loi |
.Le nom de loi binomiale négative vient du fait qu'on peut également écrire la probabilité en utilisant les coefficients binomiaux généralisé aux nombres négatifs :
