Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale

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Loi binomiale
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Chapitre 4
Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis
Chap. préc. : Épreuve de Bernoulli
Chap. suiv. : Sommaire


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Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Combinaisons

[modifier] Factorielle

Définition

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Le nombre factorielle n, noté n!, désigne le produit de tous les entiers naturels de 1 à n :

n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times 2\times 1\,.

Par convention 0!=1\,

[modifier] Combinaisons

Définition

Soient n et k des entiers tels que 0\leq k\leq n et E un ensemble à n éléments.

Une combinaison de k éléments de E est une partie de E à n éléments.

[modifier] Notation des combinaisons

Théorème
  • Étant donné un ensemble E de n objets,

le nombre {n \choose k} de manières de choisir k objets parmi ces n

est égal au nombre de combinaisons de k éléments de E, et vaut :

{n \choose k}=\frac{n\times(n-1)\times...\times (n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
  • En France, on utilise la notation \mathrm{C}_{n}^{k} pour {n \choose k}.

Nous utiliserons dans cette leçon la notation {n \choose k} qui est internationalement reconnue.

[modifier] Propriétés des combinaisons

Propriété
  • Pour tous entiers n et k tels que 0\leq k\leq n\, :


{n \choose k}={n \choose n-k}
  • Pour tous entiers n et k tels que 1\leq k\leq n-1\, :
{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

[modifier] Formule du binôme

Théorème

Pour tous nombres réels ou complexes a et b et pour tout entier n \geq 1 :

(a+b)^n=a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^n=\sum_{i=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}\times b^k\,

[modifier] Loi de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues,

l'une appelée "succès" de probabilité p et l'autre appelée "échec" de probabilité 1-p.

La loi de probabilité ci-dessous est la loi de Bernoulli de paramètre p :


Issue Succès Échec
Probabilité p 1-p

[modifier] Exemple

Calculer l'espérance et la variance d'une loi de Bernoulli de paramètre 1/3.


[modifier] Loi binomiale

On répète n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p,

c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,

la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 − p.

On note Xn le nombre de succès obtenus.

[modifier] Calcul des pk

Calculons p(k) = P(Xn = k). La probabilité d'une éventualité avec k succès et n - k échecs a pour valeur pkqn-k.

De plus il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n, c'est-à-dire {n \choose k}.


Définition

Finalement, la variable aléatoire Xn suit une loi de probabilité B(n ; p)

appelée loi binomiale de paramètre (n ; p) définie par :

p(k) = P(X = k)= {n \choose k}\ p^k q^{n-k}

[modifier] Exemple

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 12 fois 6 ?

[modifier] Espérance

Théorème

Si X suit une loi de probabilité B(n ; p) alors son espérance vaut :

E(X)=np\,

[modifier] Exemple

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.

On gagne 10 Euros à chaque fois que l'on obtient soit 1, soit 6.

Quelle est l'espérance du gain ?

[modifier] Variance et écart-type

Théorème

Si X suit une loi de probabilité B(n ; p) alors :

  • V(X) = np(1-p)\,
  • \sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}
Démonstrations

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité (1-p)) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p(1-p).

 

[modifier] Exemple

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.

On gagne 10 Euros à chaque fois que l'on obtient soit 1, soit 6.

Quels sont la variance et l'écart-type du gain ?

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