Variables aléatoires discrètes/Loi de Bernoulli

Une page de Wikiversité.


Loi de Bernoulli
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 2
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chap. préc. : Définitions
Chap. suiv. : Loi Binomiale


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Variables aléatoires discrètes : Loi de Bernoulli
Variables aléatoires discrètes/Loi de Bernoulli », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi de Bernoulli si :

\mathbb{P}(X = 0)= 1-p \ \text{et} \ \mathbb{P}(X = 1)= p

où p est un nombre réel commpris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi.

On note cette loi \mathcal{B}(p).

[modifier] Moments

[modifier] Espérance

Théorème

L'espérance d'une loi de Bernoulli est p.


Démonstration

Si X\, suit une loi de Bernoulli de paramètre p, soit X \sim \mathcal{B}(p)\,. Alors \mathbb{E}(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p

[modifier] Variance

Théorème
  • La variance d'une loi de Bernoulli est p(1 − p).
  • Son écart type est donc \sqrt{p(1-p)}


Démonstration

V(X)= \mathbb{E}(X^2) - ( \mathbb{E}(X) ) ^2

V(X) = 0 * (1 − p) + 12 * p = p − p2

V(X) = p − p2

V(X) = p(1 − p)

D'où \sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{p(1-p)}

[modifier] Applications de la loi de Bernoulli

[modifier] Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est un schéma où l'on ne considère que deux possibilités :

  • le succès (valeur 1)
  • l'échec (valeur 0)

L'exemple le plus simple est le tirage à pile ou face : si la pièce est équilibrée, le fait d'avoir pile suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.

Crystal Clear action back.png Définitions
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Variables_al%C3%A9atoires_discr%C3%A8tes/Loi_de_Bernoulli »