Variables aléatoires discrètes/Loi géométrique
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| Chapitre 4 | |||
| Leçon : Variables aléatoires discrètes | |||
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| Chap. préc. : | Loi binomiale | ||
| Chap. suiv. : | Loi hypergéométrique | ||
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Variables aléatoires discrètes/Loi géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Définition
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Définition |
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Une variable aléatoire discrète suit une loi géométrique si :  où p est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi. On note cette loi |
.Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur [0;n] :
[modifier] Moments
[modifier] Espérance
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Théorème |
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L'espérance d'une loi binomiale est |
.On utilise les développements en série entière :
![\forall x \in ]-1;1[ \, f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}x^n = \frac{1}{1- x} \Longrightarrow f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}n x^{n-1} = \frac{1}{(1- x)^2}](http://upload.wikimedia.org/math/f/f/4/ff496211a8bde52af8e83ca9221951ce.png)
D'où :
[modifier] Variance
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Théorème |
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.
Comme pour le calcul de l'espérance :
![\forall x \in ]-1;1[ \, f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}x^n = \frac{1}{1- x} \Longrightarrow f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}n x^{n-1} = \frac{1}{(1- x)^2} \Longrightarrow f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}n^2 x^{n-1} + \sum_{n=1}^{+\infty}n x^{n-1} = \frac{2}{(1- x)^3}](http://upload.wikimedia.org/math/4/6/5/4656e74814e2904c74625369b54da818.png)
D'où :
[modifier] Applications de la loi binomiale
[modifier] Épreuves de Bernoulli
L'illustration la plus classique de la loi binomiale se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, la loi géométrique est en fait la loi de la variable aléatoire "Lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli, le premier succès est au ne essai". On compte ainsi n-1 échecs avant le succès.
