Variables aléatoires discrètes/Définitions

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Définitions concernant les variables aléatoires discrètes
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Chapitre 1
Leçon : Variables aléatoires discrètes
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Chap. suiv. : Loi de Bernoulli


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Variables aléatoires discrètes/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


Sommaire

[modifier] Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe

à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre entier naturel k. On note :

X:\Omega\rightarrow\N

[modifier] Exemples

  • Les variables aléatoires discrètes sont souvent utilisées pour quantifier le "nombre de fois" qu'un événement se produit, quand celui-ci est soumis au hasard.


  • Par exemple, après n lancers successifs d'un dé, on peut noter Xn le nombre de fois où l'on a obtenu 6. Xn est alors une variable aléatoire discrète.


  • On peut aussi définir dans le même contexte la variable aléatoire discrète Y donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

[modifier] Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Définition

Si X est une variable aléatoire discrète, on donne la loi de probabilité de X en donnant une suite (pk) où pk = p(X = k)

[modifier] Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, notons Y la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois. Si on a obtenu 6 pour la première fois au k-ième lancer, cela signifie que l'on a obtenu un des résultats 1,2,3,4,5 k-1 fois auparavant, avec une probabilité de \frac{5}{6} à chaque fois. d'où :

p_k = p(X = k)=\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6}

[modifier] Espérance d'une variable aléatoire discrète

Définition

En étendant la définition de l'espérance sur les ensembles finis, on a la formule suivante pour une variable aléatoire discrète X de loi de probabilité (pk) :

E(X) = \sum_{i=1}^{+\infty} p_i\times x_i
  • L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois.
  • Il faut remarquer que la somme infinie qui définit l'espérance pourrait fort bien ne pas converger (Voir Série numérique/Définition). Cette difficulté technique ne sera pas développée ici, on ne traitera dans les exercices que des exemples où la convergence est assurée.

[modifier] Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, si Y est la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

On a vu que :

p_k = p(X = k)=\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6}

donc :

E(X) = \sum_{i=1}^{+\infty} p_i\times x_i=\sum_{i=1}^{+\infty} \left(\frac{5}{6}\right)^{i-1} \times \frac{1}{6}\times i=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{+\infty} i\times \left(\frac{5}{6}\right)^{i-1}

En utilisant la formule :

\sum_{i=0}^{+\infty} q^i=\frac{1}{1-q}

et en dérivant membre à membre (on ne posera pas ici la question de savoir si on a le droit de le faire, voir Série entière), on obtient :

\sum_{i=1}^{+\infty} i\times q^{i-1}=\frac{1}{(1-q)^2}

donc en prenant q = \frac{5}{6} et en remplaçant dans notre calcul :

E(X) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{+\infty} i\times\left(\frac{5}{6}\right)^{i-1}=\frac{1}{6}\frac{1}{(1-\frac{5}{6})^2}
E(X)=\frac{1}{6}\frac{1}{(\frac{1}{6})^2}=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6

Ce résultat signifie qu'en moyenne, on obtiendra le premier 6 après 6 lancers.

[modifier] Variance d'une variable aléatoire discrète

Définition

Soit X une v.a discrète de loi (pi). La variance de X se calcule ainsi :

V(X) =\sum_{i=0}^{+\infty} p_i\times (x_i-E(X))^2
  • La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
  • Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,
de manière similaire à la variance d'une série statistique.


  • Là encore, on ne s'inquiètera pas de la convergence de cette série.

[modifier] Formule

Théorème

V(X)=\sum_{i=0}^{+\infty} p_i\times x_i^2-E(X)^2

[modifier] Exemple

Calculer la variance de la v.a.d Y de l'exemple précédent.

[modifier] Écart-type

Définition

L'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance :

\sigma (X)=\sqrt{V(X)}
  • L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a,
et ce dans les mêmes unités que celle des xi (si les xi sont des euros, σ est en euros).
  • On pourrait alors se demander quel est l'intérêt de la variance,
puisqu'elle n'est pas exprimée dans la même unité que les xi ...
Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier
dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.
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