Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

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Introduction

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

Formule d'intégration par parties

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Début d’un théorème

Théorème

$\int _{a}^{b}{u'v}=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{uv'}\,$

Fin du théorème

• Cette formule provient l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

• Traduit littéralement cela donne:

L'intégrale du produit d'une fonction u par la dérivée d'une fonction (ou par une fonction facilement intégrable) v' est égale à la différence du produit de la dérivée de la première fonction u' et de la deuxième fonction v au produit des deux fonctions u et v.

Exemples

Exemple simple

On sait qu'une primitive de x est $x^{2}/2$ .

On calcule ici $\int _{0}^{1}xdx_{,}$ sans utiliser cette primitive, mais seulement celle de 1 , grâce à la formule d'intégration par parties.

$\int _{0}^{1}xdx=\int _{0}^{1}{1xdx}=[x*x]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{x*1dx}$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

$2\int _{0}^{1}xdx=1^{2}=1$

$\int _{0}^{1}xdx={\frac {1}{2}}\,$

Exemple classique

$\int _{0}^{1}{xe^{x}dx}\,$

On choisit $u'(x)=..............\,$ et $v(x)=..............\,$

On obtient $u(x)=..............\,$ et $v'(x)=.............\,$:

$\int _{0}^{1}{xe^{x}dx}=..............................................\,$

Solution

On choisit $u'(x)=e^{x}\,$ et $v(x)=x\,$

On obtient $u(x)=e^{x}\,$ et $v'(x)=1\,$.

On obtient alors :

$\int _{0}^{1}{xe^{x}dx}=[xe^{x}]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{e^{x}dx}=1e^{1}-0e^{0}-(e^{1}-e^{0})=e-e+1=1\,$

Avec cosinus

$\int _{0}^{\pi }{x\times cos(x)dx}$

Avec un logarithme

$\int _{1}^{4}{xlnxdx}$

En utilisant consécutivement plusieurs IPP

$\int _{-1}^{1}{x^{2}e^{x}dx}$.

Exemple corrigé

$A=\int _{0}^{2}{(x-2)e^{x}dx}$.

On choisit $u'(x)=e^{x}\,$ et $v(x)=x-2\,$

On obtient $u(x)=e^{x}\,$ et $v'(x)=1\,$:

Ainsi, on obtient $[(x-2)e^{x}]_{0}^{2}-\int _{0}^{2}{e^{x}dx}=0+2-[e^{x}]_{0}^{2}\,$

D'où $A=0+2-(e^{2}-1)=3-e^{2}\,$

Calcul de primitives

Pour calculer une primitive grâce à une IPP, il suffit de ne pas fixer la borne supérieure d'intégration b, que l'on appelle alors x.

• Exemple simple:

On connaît $\int xdx=x^{2}/2$ . On essaye de le montrer avec une IPP:

$\int xdx=\int {1xdx}=[x*x]-\int {x*1dx}$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

$2\int xdx=x^{2}\iff \int xdx=x^{2}/2$

Cet exemple n'utilise pas la propriété réellement apportée par la formule, mais est utile. Ensuite, il y a des exemples plus compliqués, comme cette intégration classique (à savoir refaire sans problème):

• Exemple classique : $\int {xe^{x}dx}\,$

On choisit $u'(x)=e^{x}\,$ et $v(x)=x\,$

On obtient $u(x)=e^{x}\,$ et $v'(x)=1\,$.

On obtient alors :

$\int {xe^{x}dx}=[xe^{x}]-\int {e^{x}dx}=(x-1)e^{x}\,$

• Pour aller plus loin, on peut utiliser consécutivement plusieurs IPP.

$\int {x^{2}e^{x}dx}$.

• De même pour $\int {xlnxdx}$