Série entière/Définition formelle - rayon de convergence

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**Définition formelle - rayon de convergence**
Leçon : Série entière

Chapitre 2
Chap. préc. :	Introduction
Chap. suiv. :	Propriétés

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Série entière/Définition formelle - rayon de convergence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Définition

Exemple 1

Comme indiqué dans la présentation, une série entière est une série de fonctions $\sum_{k=0}^\infty u_n(z)$ où $u_n : z \longmapsto a_n z^n$
z est une variable complexe en règle générale

[modifier] Exemples

Exemple 2

La première série entière est bien connue de tous:

$\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-z^n }{ 1-z }$ .

Ainsi, lorsque n tend vers l'infini, on a bien, pour $\left| z \right| \le 1$ :

$\sum_{k=0}^\infty z^k = {1 \over 1-z}$

On a donc bien ici une série entière, avec $a n = 1$ et convergeant pour $\left| z \right| < 1$ .

Exemple

Utilisation du critère d'Alembert

pour $a_n=\frac{1}{n!}$ , on a la série : $\sum_{k=0}^\infty {z^k \over n!}$

en appliquant le critère de d'Alembert : ${u_{n+1}(z) \over u_n(z)} = {z \over n+1} \longmapsto 0$ et ceci $\forall z$ . On a donc bien une série entière qui converge cette fois ci $\forall z$ .

conclusions

Un des problème majeur vient de la convergence (ou pas) de la série entière.
On constate au travers des ces deux exemples que la série converge sur un disque ouvert de centre (0,0) et de rayon 1 pour le premier exemple, de rayon infini pour le second exemple.

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