Série entière/Fonction exponentielle
Une page de Wikiversité.
 |
|||
| Chapitre 5 | |||
| Leçon : Série entière | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Développement en série entière | ||
| Chap. suiv. : | Série géométrique | ||
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Série entière : Fonction exponentielle
Série entière/Fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Développement en série entière de la fonction exponentielle
En appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir la fonction exponentielle exp ou encore 
comme la somme d'une série entière (de rayon de convergence infini). En effet, l'exponentielle est la solution de l'équation différentielle 
.
|
Théorème |
|
où Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :
, avec a₀=1.
La dérivée est donnée par :
.
De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières :
.
Par une récurrence immédiate, on établit :
.
