Série entière/Exercices/Rayon de convergence 2

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**Rayon de convergence 2**
Leçon : Série entière

Exercice 3

Cet exercice est de niveau 14.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Rayon de convergence 2
Série entière/Exercices/Rayon de convergence 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières suivantes de la variable réelle x :

$\sum_{n \ge 0}e^{-3n}x^n$

Solution

Utilisation de la règle de Cauchy : soit $a_n = e^{-3n}.\,$

$(a_n)^{1/n} = e^{-3} = \lambda.\,$

Donc $R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e^{-3}} = e^3.$ Pour $x \in\ ]-e^3,e^3[,\ \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-3n}x^n$ converge absolument et $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-3n}x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (e^{-3}x)^n = \frac{1}{1 - e^{-3}x} = \frac{e^3}{e^3-x}$

$\sum_{n \ge 0}\frac{n}{4^n}x^n$

Solution

Règle de d'Alembert : $\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \frac{n+1}{4^{n+1}} \times \frac{4^n}{n} = \frac{1}{4} \frac{n+1}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4}$ donc $R = 4.$

Pour $x \in\ ]-4,4[,\ \sum_{n \ge 0} \frac{n}{4^n}x^n$ converge (absolument) et soit $S (x)$ sa somme. $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{4^n}x^n$

Rappel : soit $\sum_{n \ge 0}b_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Soit $S (x)$ sa somme, $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n$ définie par $x \in\ ]-R,R[$ . S est indéfiniment dérivable sur $] - R, R [$ et : $\forall x \in\ ]-R,R[$ :

$S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} nb_n x^{n-1}$

$S''(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)b_n x^{n-2}$

$\vdots$

$S^{(p)}(x) = \sum_{n=p}^{+\infty} n(n-1) \cdots (n-p+1) b_n x^{n-p}$

L'idée est de trouver une nouvelle série entière qui ressemble à la série $S (x)$ . Définissons $T(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{4^n} x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{x}{4} \right)^n = \frac{1}{1-\tfrac{x}{4}} = \frac{4}{4-x}$

La dérivée $T'(x)\,$ vaut $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{4^n} x^{n-1} = \frac{4}{(4-x)^2}.$ On constate qu'on a un résultat se rapprochant de $S (x)$ .

Pour $x \in\ ]-4,4[,\ S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{4^n} x^n = x \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{4^n} x^{n-1} = \frac{4x}{(4-x)^2}$

$\sum_{n \ge 1}n^2 x^n$

Solution

Le rayon de convergence est 1 (résultat trivial). Donc pour tout $x \in ]-1,1[\ :$

$\sum_{n \ge 1}n^2 x^n$ est absolument convergente. Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n^2 x^n.$ Pour $x \in ]-1,1[\ :$

$S(x) = 0 + x + \sum_{n=2}^{+\infty} n^2 x^n$

$= x + x^2 \sum_{n=2}^{+\infty} n^2 x^{n-2}$

$= x + x^2 \sum_{n=2}^{+\infty} [n(n-1)+n] x^{n-2}$

$= x + x^2 \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)x^{n-2} + x^2 \sum_{n=2}^{+\infty} n x^{n-2}$

$= x + x^2 \times \frac{2}{(1-x)^3} + x \sum_{n=2}^{+\infty} n x^{n-1}$

$= x + \frac{2x^2}{(1-x)^3} + x \sum_{n=1}^{+\infty}(n x^{n-1}-1)$

$= x + \frac{2x^2}{(1-x)^3} + x \times \frac{1}{(1-x)^2} - x$

$= \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2}$

$= \frac{x^2+x}{(1-x)^3}$

$\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}$

Solution

$a_n = \begin{cases} 0, & \mbox{si }n\mbox{ est pair} \\ (-1)^{k-1}k, & \mbox{si }n\mbox{ est impair}\quad n=2k+1. \end{cases}$

Les premiers termes de cette série sont : $x^3 - 2x^5 + 3x^7 - 4x^9 \cdots$

Pour $x$ fixé, $x \ne 0$ , on étudie la convergence absolue de la série numérique $\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1} n x^{2n+1},\ u_n = (-1)^{n-1} n x^{2n+1}$

Comme $\forall n \ge 1, u_n \ne 0$ , on peut appliquer le critère de d'Alembert à la S.T.P. $\sum_{n\ge 1}|u_n|\ :$

$\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \frac{(n+1)|x|^{2n+3}}{n|x|^{2n+1}} = |x|^2\frac{n+1}{n} = x^2\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} x^2$

D'après le critère de d'Alembert :

Si $x 2 < 1$ , ce qui équivaut à $| x | < 1$ , la série $\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}$ converge absolument.
Si $x 2 > 1$ , ce qui équivaut à $|x|>1, |u_n| \underset{n \to \infty}{\not\to} 0$ donc $u_n \underset{n \to \infty}{\not\to} 0$ donc $\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}$ diverge (grossièrement).