Série entière/Exercices/Rayon de convergence 2

Déterminer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières suivantes de la variable réelle x :

• $\sum _{n\geq 0}\mathrm {e} ^{-3n}x^{n}$

Solution

Cette série géométrique a pour rayon $\mathrm {e} ^{3}$ et pour somme ${\frac {1}{1-x/\mathrm {e} ^{3}}}={\frac {\mathrm {e} ^{3}}{\mathrm {e} ^{3}-x}}$.

 

• $\sum _{n\geq 0}{\frac {n}{4^{n}}}x^{n}$

Solution

Le rayon de convergence $R$ de cette série $T(x)$ est le même que celui de la série géométrique $S(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }(x/4)^{n}$ donc $R=4$.

De plus, pour $x\in \left]-4,4\right[$, $S(x)={\frac {4}{4-x}}$ et ${\frac {4}{(4-x)^{2}}}=S'(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n}{4^{n}}}x^{n-1}={\frac {1}{x}}T(x)$ donc $T(x)={\frac {4x}{(4-x)^{2}}}$.

 

• $\sum _{n\geq 1}n^{2}x^{n}$

Solution

Le rayon de convergence $R$ de cette série est le même que celui de la série géométrique $T(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }x^{n}$ donc $R=1$.

De plus, $T(x)={\frac {1}{1-x}}$ pour $|x|<1$. Alors, $\sum _{n\geq 1}nx^{n-1}=T'(x)={\frac {1}{(1-x)^{2}}}$ et $\sum _{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}=T''(x)={\frac {2}{(1-x)^{3}}}$ donc $\sum _{n\geq 1}n^{2}x^{n}=\sum _{n\geq 2}n(n-1)x^{n}+\sum _{n\geq 1}nx^{n}=x^{2}T''(x)+xT'(x)={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x^{2}+x}{(1-x)^{3}}}$.

 

• $\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}$

Solution

Soit $T(y)=\sum _{n\geq 0}y^{n}={\frac {1}{1-y}}$, de rayon de convergence 1. Alors, $\sum _{n\geq 1}ny^{n-1}=T'(y)={\frac {1}{(1-y)^{2}}}$ (avec même rayon de convergence) donc

$\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}=x^{3}T'(-x^{2})={\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}$, de rayon de convergence 1.

 

• $\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}$ (on calculera la somme de deux façons différentes).

Solution

Première méthode :

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {nx^{n}}{n!}}+\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=x\sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\left(x+1\right)\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\left(x+1\right)\mathrm {e} ^{x}.\end{aligned}}$

Seconde méthode :

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}&=\sum _{n\geq 0}{\frac {(x^{n+1})'}{n!}}\\&=\left(x\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\right)'\\&=\left(x\mathrm {e} ^{x}\right)'\\&=\left(x+1\right)\mathrm {e} ^{x}.\end{aligned}}$

Le rayon de convergence est infini.