Polynôme/Définitions

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**Définitions**
Leçon : Polynôme

Chapitre 1
Chap. suiv. :	Arithmétique des polynômes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Polynôme : Définitions
Polynôme/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans toute la suite, $\mathbb{K}$ représentera indistinctement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Coefficients et degré
- 1.2 Unicité
2 Polynôme
3 Structure de lK[X]

[modifier] Définitions

Définition

Polynôme : On appelle polynôme à indéterminée X tout objet de la forme

$\quad P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n$ , où $a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{K}$

On notera $P \in \mathbb{K}[X]$ .

Exemples

$5 + 2X + 3{X^2}\,$ est un polynôme.
$\quad -7$ est un polynôme.
$\sqrt{X}$ n'est pas un polynôme.

[modifier] Coefficients et degré

Soit $P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^{k} \in \mathbb{K}[X]$

Définition

Coefficients : $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont appelés les coefficients de P.

Degré Le degré d'un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera $\quad deg(P)$ ou $\quad d^o(P)$

Formellement, $\deg(P) = \max\{i\in\N ; a_i\ne 0\}$ .

Propriété

Soient $P,Q\in \mathbb K[X]\,$ .

$\deg PQ = \deg P + \deg Q\,$ ;
$\deg (P+Q) \le \max(\deg P;\deg Q)\,$ avec égalité sauf si $\deg P = \deg Q\,$ et si la somme des monômes de plus haut degré de P\, et Q\, est nulle.

La preuve est laissée à titre d'exercice.

[modifier] Unicité

Montrons que l'écriture $M=a{X^n}\,$ est unique.
Soit $b \in \mathbb{R}$ .
Soit $p \in \mathbb{N}$ .

Supposons que $M=a{X^n}\,$ et $M=b{X^p}\,$ .

En particulier, si $X=1\,$ , $M=a\,$ et $M=b\,$ donc $a=b\,$ .
Pour tout , on a alors : et , donc
- si $a=0\,$ , $M=0\,$
- sinon, on a :

${X^n}={X^p}\,$
donc ${X^{n-p}}=1\,$
soit $n-p=0\,$
ainsi $n=p\,$ .

L'écriture $M=a{X^n}\,$ est donc unique, nommons les termes :

$a\,$ est le coefficient du monôme
$n\,$ est le degré du monôme

Exemples

$3{X^2}\,$ est un monôme de degré 2 et de coefficient 3
$-7{X^5}\,$ est un monôme de degré 5 et de coefficient (-7)
$\sqrt{2}{X^0}$ , est un monôme de degré 0 et de coefficient $\sqrt{2}$

Cas particuliers :

si $n=1\,$ , $M=aX\,$ ; $M\,$ est un monôme de degré 1, on dit qu'il est unitaire
si $a=0\,$ , $M=0\,$ ; $M\,$ est le monôme nul ; par convention, son degré vaut $-\infty$

[modifier] Polynôme

Un polynôme $P\,$ est une somme de monômes.

Soit $(a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ .
Soit $n \in \mathbb{N}$ .

$P\,$ est alors de la forme : $P=a_n{X^n}+a_{n-1}{X^{n-1}}+...+a_2{X^2}+a_1{X}+a_0\,$ .
Son écriture réduite ordonnée est : $P= \sum_{i=0}^n a_i{X^i}$ . Nous admettrons qu'elle est unique.

les $a_i\,$ sont les coefficents du polynôme
$a_n{X^n}\,$ est le terme de plus haut degré
$a_n\,$ est le coefficient du terme de plus haut degré

D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :

Soit $(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ .
et

$P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}\,$ .

En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent $b 0$ est non nul et on ne considère que les polynômes moniques ( ce coefficient vaut 1 ), alors si la dimension de x est [L], la dimension de $b k$ est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.

- Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :

$X^3 + p X + q \,$

vaut :

$\Delta = 4 p^3 +27 q^2 \,$

Cette expression est "homogène" et pertinente (p puissance impaire, et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q', on aurait eu le "discrimant réduit" p'^3 + q'^2 , plus étudié chez les physiciens comme "plus naturel"(?).

- L'explication très simple qu'on peut en donner est la remarque suivante: l'équation du troisième degré a au moins une racine réelle, appelons-la x1 := 2 xo . La mise en facteur donne un polynôme du deuxième degré qui va conduire au discriminant ordinaire, qui discriminera s'il y a une ou trois racines réelles : la "transition de phase" ( le changement de comportement en mathématiques) aura lieu quand la racine sera double, donc quand elle vaudra -xo, puisque la somme des racines est nulle donc alors P(x) = (x-2xo)(x²+2x.xo +xo²) = x^3 + 3x0².x - 2xo^3 :soit p' = xo² et q' = -xo^3.

Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase.( Il s'agit juste d'une translation du vocabulaire entre les deux disciplines ).

[modifier] Structure de lK[X]

Théorème et définition

Soient $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\,$ et $Q = \sum_{k=0}^{n} b_k X^k\,$ deux polynômes et $\lambda\in \mathbb K\,$ .
On définit sur $\mathbb K[X]\,$ les opérations suivantes :

l'addition de deux polynômes : $P+Q = \sum_{k=0}^{n} (a_k+b_k) X^k\,$ ;
la multiplication d'un polynôme par un scalaire : $\lambda P = \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k) X^k\,$ ;
le produit de deux polynômes : $PQ = \sum _{k=0}^n c_k X^k\,$

où $c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\,$ .
$(\mathbb K[X],+,.,\times)\,$ est une $\mathbb K\,$ -algèbre, ce qui signifie que :

$(\mathbb K[X],+,.)\,$ est un $\mathbb K\,$ -espace vectoriel ;
$(\mathbb K[X],+,\times)\,$ est un anneau (en plus, il est commutatif et intègre).

La définition du produit de deux polynômes n'est a priori pas intuitive. Elle repose pourtant sur l'utilisation habituelle de la distributivité :
Exemple :
Soient $P = X^2-3X+1\,$ et $Q = X^3-5X+4\,$ dans $\mathbb R[X]\,$ .
En calculant $PQ\,$ avec la disributivité, on trouve :
$PQ = X^2(X^3-5X+4) -3X(X^3-5X+4) + 1(X^3 - 5X + 4) = X^5 - 5X^3 + 4X^2 - 3X^4 +15X^2 -12X +X^3 - 5X + 4 = X^5 - 3X^4 -4X^3 -11X^2-17X+4\,$ .
Vérifions par exemple ce qui se passe pour $k = 4\,$ dans la formule ci-dessus :
$c_4 = \sum_{i=0}^4 a_i b_{4-i} = a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2b_2+a_3b_1+a_4b_0 = 1\times 0 +(-3)\times 1+ 1\times 0 + 0\times -5 +0\times 4 = -3\,$ ,ce qui correspond au résultat ci-dessus.

En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que $a_iX^{i}\times b_{k-i}X^{k-i} = a_i b_{k-i}X^k\,$ ,ce qui explique un peu la formule.

Propriété : Les unités de lK[X]

Les unités de $\mathbb K[X]\,$ sont les polynômes constants non nuls (qui s'identifient avec leur constante), et donc :

$(\mathbb K[X])^* = \mathbb K^*\,$

.

On remarque donc que $\mathbb K[X]\,$ n'est pas un corps.

Démonstration

Soit $P\in (\mathbb K[X])^*\,$ .Par définition, $P\,$ est inversible, donc il existe $Q = P^{-1}\in \mathbb K[X]\,$ tel que $PQ = 1\,$ .
Donc, en particulier $\deg P+\deg Q = \deg 1 = 0 \Rightarrow \deg P = \deg Q = 0\,$ car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.

On note $\mathbb K_n[X]\,$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n\,$ (par convention, on pose $\deg 0 = -\infty < n\,$ ).

Propriété : Bases du lK-espace vectoriel lK[X]

La base canonique de $\mathbb K[X]\,$ est $(1,X,X^2,\ldots,X^n,\ldots)\,$ . En particulier :

--> $\mathbb K[X]\,$ est de dimension infinie ;
--> $\mathbb K_n[X]\,$ est de dimension n+1 car $(1,X,X^2,\ldots,X^n)\,$ en est la base canonique.

Soit $(P_n)\,$ une famille de polynômes telle que $P_n\,$ soit de degré $n\,$ .

Alors, pour tout $n\,$ , $(P_0, P_1,\ldots,P_n)\,$ forme une base de $\mathbb K_n[X]\,$ .

Polynôme

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