Polynôme/Arithmétique des polynômes

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**Définitions**
Leçon : Polynôme

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions
Chap. suiv. :	Dérivation formelle

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Polynôme : Définitions
Polynôme/Arithmétique des polynômes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

$\mathbb K\,$ désigne toujours un corps commutatif et $\mathbb K[X]\,$ l'anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb K\,$ .

Sommaire

1 Division euclidienne et divisibilité dans lK[X]
2 PGCD et PPCM
- 2.1 Définitions
- 2.2 Algorithme d'Euclide
3 Théorèmes d'Arithmétique
4 Polynômes premiers et irréductibles
5 Idéaux de lK[X]

[modifier] Division euclidienne et divisibilité dans lK[X]

Théorème et définition : Division euclidienne dans lK[X]

$\forall A,B \in \mathbb K[X] \times (\mathbb K[X]-\{0\}) , \exists ! (Q,R) \in (\mathbb K[X])^2 | A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B\,$

.

$Q\,$ est le quotient de $A\,$ par $B\,$ et $R\,$ est le reste.

Démonstration

La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du paragraphe précédent :

Le couple (Q, R), s'il existe, est unique :

La démonstration se fonde sur une propriété des degrés, le degré du produit de deux polynômes M et N est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :

$\text{deg } (M\cdot N) = \text{deg }M + \text{deg }N$

On suppose l'existence de deux couples (Q₁, R₁), (Q₂, R₂) résultat de la division euclidienne de A par B, on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :

$A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2) + R_1-R_2 = 0$

Si la différence entre Q₁ et Q₂ n'était pas nulle, le premier terme de la somme (1) serait au moins de degré de B, noté n. Comme R₁ et R₂ sont de degrés strictement inférieurs à n, le terme de gauche de l'égalité (1) ne pourrait être nulle. On en déduit que Q₁ et Q₂ sont égaux, l'égalité (1) montre alors que R₁ et R₂ sont aussi égaux.

Il existe un couple (Q, R) satisfaisant l'identité de la division euclidienne :

Soient m et n les degrés de A et B. Les polynômes sont notés de la manière suivante :

$A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad \text{avec}\quad a_m \neq 0 \;\text{et}\; b_n\neq 0\;$

Soit p = m - n. Si p est strictement négatif, c'est-à-dire si n est strictement plus grand que m, il suffit de prendre Q égal au polynôme constant 0 et R égal à A pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Si p est égal à 0, c'est-à-dire si n est égal à m :

$A = \frac {a_m}{b_m} B + R \quad \text{avec}\quad R = \left(a_{m-1} - \frac {a_mb_{m-1}}{b_m}\right)X^{m-1} + \cdots + \left(a_1 - \frac{a_mb_1}{b_m}\right)X + \left(a_0 - \frac {a_mb_0}{b_m}\right) \;$

Ce qui démontre la proposition pour p égal à 0. Supposons maintenant la propriété démontrée pour toute valeur inférieure à p - 1 et montrons la pour p. Un calcul analogue au précédent montre l'existence d'un polynôme R₁ tel que :

$(1)\quad A = \frac {a_m}{b_n} X^p.B + R_1 \quad \text{avec}\quad \deg R_1 \le n - 1 \;$

La différence de degré entre R₁ et B est inférieure ou égal à p - 1, l'hypothèse de récurrence montre l'existence de deux polynômes Q₁ et R tel que :

$(2)\quad R_1 = Q_1.B + R \quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B \;$

En remplaçant la valeur de R₁calculée dans l'égalité (2) dans l'égalité (1), on obtient :

$A = \left(\frac {a_m}{b_n} X^p + Q_1\right)B + R \quad\text{ou encore si}\quad Q =\frac {a_m}{b_n} X^p + Q_1,\quad A = B.Q + R\quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B \;$

Ce qui établit la proposition.

Exemple : Division de $X^4-X^3+X^2-X+8\,$ par $X^2+3X+1\,$ .

Étape 1 : division de $X^4-X^3+X^2\,$ par $X^2+3X+1\,$ (quotient $X^2\,$ , reste $-4X^3\,$ )

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	+ 3x³	+ x²			x²
	- 4x³

Étape 2 : division de -4x³ - x par x² + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x² + 3x)

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	+ 3x³	+ x²			x² - 4x
	- 4x³		- x
	-4x³	- 12x²	-4x
		+ 12x²	+ 3x

Étape 3 : division de 12x² - 3x + 8 par x² + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	+ 3x³	+ x²			x² - 4x + 12
	- 4x³		- x
	-4x³	- 12x²	-4x
		+ 12x²	+ 3x	+ 8
		12x²	+ 36x	+12
			- 33x	- 4

Conclusion : x⁴ - x ³ + x² - x + 8 = (x² + 3x + 1)(x² - 4x + 12) - 33x - 4

Définition : Divisiblité

Soient $A\,$ et $B\,$ deux polynômes.
On dit que $B\,$ divise $A\,$ (ce qu'on note $B|A\,$ ) si, et seulement si, il existe $P\in \mathbb K[X]\,$ tel que $A = PB\,$ :

$B|A : \iff \exists P\in\mathbb K[X] | A = PB\,$

.

Propriétés

Soient $A,B,C\in \mathbb K[X]\,$ et $\lambda\in\mathbb K\,$ .

$A|\lambda \iff A\mathrm{\;constant\;}\,$
Transitivité : $A|B \mathrm{\;et\;} B|C \Rightarrow A|C\,$
$A|B \mathrm{\;et\;} A|C \Rightarrow A|BU+CV\;\forall U,V\in \mathbb K[X]\,$
$\left(A|B \mathrm{\;et\;} B|A\right) \iff \left(\exist \lambda\in \mathbb K | A = \lambda B\right)\,$ .

Les démonstrations se font comme dans $\mathbb Z\,$ (voir le cours d'Arithmétique).

[modifier] PGCD et PPCM

[modifier] Définitions

Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes

Soient $A,B\in \mathbb K[X]\,$ .

Un PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de $A\,$ et $B\,$ est un polynôme $D\,$ qui divise $A\,$ et $B\,$ et tel que tout diviseur commun à $A\,$ et $B\,$ divise $D\,$ (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
Un PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de $A\,$ et $B\,$ est un polynôme $M\,$ qui est divisible par $A\,$ et $B\,$ et tel que tout multiple commun à $A\,$ et $B\,$ soit divisible par $M\,$ (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .

Remarques :

$P|Q \iff \operatorname{pgcd}(P;Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P;Q) = Q\,$ .
On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
Comme dans $\mathbb Z\,$ , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

[modifier] Algorithme d'Euclide

Il est le même que dans $\mathbb Z\,$ . On établit le Lemme d'Euclide :

Lemme d'Euclide

Soient $A,B\in \mathbb K[X]\,$ .
Alors $\forall P,Q\in\mathbb K[X]\,$ , si $A = BP+Q\,$ on a :

$\operatorname{pgcd}(A;B) = \operatorname{pgcd}(B;Q)\,$

.

Démonstration

Il faut montrer que l'ensemble $\mathcal D(A;B)\,$ des diviseurs communs à $A\,$ et $B\,$ est égal à $\mathcal D(B;Q)\,$ .On raisonne donc par implications successives.
$(\subset)\,$ : Soit $C\in\mathcal D(A;B)\,$ .
Alors $C|A\mathrm{\;et\;}C|B \Rightarrow C|Q = A-BP\,$ d'où l'on tire que $C\in\mathcal D(B;Q)\,$ .
$(\supset)\,$ : Soit $C\in\mathcal D(B;Q)\,$ .
Alors $C|B\mathrm{\;et\;}C|Q \Rightarrow C|A = BP+Q\,$ d'où l'on tire que $C\in\mathcal D(A;B)\,$ .
On a bien l'égalité $\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)\,$ : si ces ensembles sont égaux, alors leur plus grands éléments aussi, d'où le résultat.

On en déduit l'Algorithme d'Euclide :
Soient $(A,B)\in (\mathbb K[X])^{2}$ tels que $\deg A>\deg B\,$

Opération	Reste $R\,$	Commentaires
on divise $A\,$ par $B\,$	$R_0\,$	$\deg 0\le \deg R_0<\deg B \mbox{ et } pgcd(A,B)=pgcd(B,R_0)$
si $R_0\neq 0$ , on divise $B\,$ par $R_0\,$	$R_1\,$	$\deg 0\le \deg R_1<\deg R_0 \mbox{ et } pgcd(B,R_0)=pgcd(R_0,R_1)$
…	…	…
si $R_n\neq 0$ , on divise $R_{n-1}\,$ par $R_n\,$	$0\,$	$pgcd(R_{n-1},R_n)=R_n\,$

[modifier] Théorèmes d'Arithmétique

Ces Théorèmes se démontrent comme dans $\mathbb Z\,$ .

Théorème de Bézout

$\forall A,B\in \mathbb K[X]\, , \exists U,V\in \mathbb K[X] | AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)\,$ .
$\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in \mathbb K[X] | AU+BV = 1\right)\,$ .

Théorème de Gauss

Soient $A,B,C\in \mathbb K[X]\,$ .
Si $A|BC\,$ et $\operatorname{pgcd}(A;B) = 1\,$ , alors $A|C\,$ .

[modifier] Polynômes premiers et irréductibles

Définition : Polynômes premiers et irréductibles

Soit $P\in \mathbb K[X]\,$ non constant.

Le polynôme $P\,$ est dit irréductible si, et seulement si, ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme $\lambda P (\mathrm{\;avec\;} \lambda\in \mathbb K)\,$ .
Le polynôme $P\,$ est dit premier si, et seulement si :

$\forall A,B\in \mathbb K[X], P|AB \Rightarrow P|A \mathrm{\;ou\;} P|B$

.

Théorème

Un polynôme est premier si, et seulement si, il est irréductible.

On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans $\mathbb Z\,$ .

On démontre aussi :

Théorème

$\mathbb K[X]\,$ est un anneau factoriel.
Cela signifie que, comme dans $\mathbb Z\,$ , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre des facteurs près.

[modifier] Idéaux de lK[X]

La définition d'un idéal est donnée dans le cours sur les anneaux.

Théorème

$\mathbb K[X]\,$ est un anneau principal, ce qui signifie que tout idéal y est principal : plus précisément, si $I\,$ est un idéal de $\mathbb K[X]\,$ , alors $\exists! P\in \mathbb K[X] | I = (P) = \{PQ|Q\in\mathbb K[X]\}\,$ .

Polynôme

Polynôme/Définitions

Dérivation formelle

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