Notions sur les différentielles/Notation différentielle
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- Différentielle d'une fonction à une seule variable
Connaissant une certaine fonction f dépendant d'une seule variable, on définit une nouvelle fonction ε :
Donc en prenant la limite de cette expression lorsque u tend vers 0, on obtient :
D'autre part, on a aussi :
Ainsi lorsque u tend vers 0, le terme de droite de cette équation tend lui-même vers 0 car ε a une valeur proche de 0. À la limite, il reste donc :
Pour simplifier cette écriture, on introduit la notion de différentielle. Pour cela, il faut remarquer que u est une toute petite variation de x. On note alors dx = u la différentielle de x. De même, f(x + u) − f(x) est une toute petite variation de f. On note alors df = f(x + u) − f(x) la différentielle de f. On obtient une relation entre ces différentielles :
Mais attention, la démonstration n'est valable que lorsque dx tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que df et dx sont des grandeurs infinitésimales.
- Différentielle d'une fonction à plusieurs variables
Si la fonction f dépend de plusieurs variables x, y, et z, le même raisonnement peut être appliqué, et on obtient une équation faisant intervenir les dérivées partielles : 
