Notions sur les différentielles/Différentielle totale

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**Différentielle totale**
Leçon : Notions sur les différentielles

Chapitre {{{numero}}}

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Notions sur les différentielles/Différentielle totale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d'une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l'on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.

Définition

Soient trois fonctions P, Q et R dépendant chacune de trois variables x, y, et z. Existe-t-il une fonction f telle que

$\frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y,z)$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y,z)$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = R(x,y,z)$ ?

Si c'est le cas, on dit que la grandeur suivante :

$\mathrm df=P(x,y,z)\,\mathrm dx+Q(x,y,z)\,\mathrm dy+R(x,y,z)\,\mathrm dz$

est une différentielle totale.

On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l'expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ , $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$ , et $\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$ ,
Conséquence: relations entre dérivées partielles de fonctions implicites

On s'intéresse au cas d'une fonction f telle que $f (x, y, z) = 0$ . Dans ce cas, les variables x, y, et z sont implicitement liées entre elles : x(y,z), y(x,z), z(x,y). On a, d'après le chapitre précédent :

$\begin{matrix} \mathrm dx & = & \frac{\partial x}{\partial y} \mathrm dy + \frac{\partial x}{\partial z} \mathrm dz \\ & = & \frac{\partial x}{\partial y} \left( \frac{\partial y}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial y}{\partial z} \mathrm dz \right) + \frac{\partial x}{\partial z} \mathrm dz \\ & = & \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} \mathrm dx + \left( \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial x}{\partial z} \right) \mathrm dz \end{matrix}$

Or cela est valable pour tout dx et pour tout dz. On peut donc supposer successivement que dz = 0 puis que dx = 0 :

Pour dz = 0 on obtient la relation importante :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}=1$

Pour dx = 0 on obtient une autre relation :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial x}{\partial z}=0$

D'où :

$\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=-1$

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