Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

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**Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 7
Chap. préc. :	Théorèmes sur les limites
Chap. suiv. :	Droites asymptotes

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Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Remarque : Les théorèmes qui suivent ne figurent pas au programme de toutes les classes de terminales, voir les fiches d'exercices pour résoudre le problème sans les théorèmes.

Sommaire

1 Cas des polynômes
- 1.1 Exemple
2 Cas des fractions rationnelles
- 2.1 Exemple

[modifier] Cas des polynômes

Théorème

La limite d'un polynôme en $-\infty$ et en $+\infty$ est

celle de son terme de plus haut degré.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Limites de polynômes en l'infini.

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

$g:x\mapsto - x^2 + x + 1\,$
$h:x\mapsto - 2x^3 + 4x - 1\,$
$k:x\mapsto \frac{1}{2}x^3 - x + 1$
$l:x\mapsto - \frac{1}{3}x^7 + x^3 + x^2$

Solution

1. Le terme dominant de g est $- x 2$

$\lim_{x\to+\infty}-x^2=-\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$
$\lim_{x\to-\infty}-x^2=-\infty$ donc $\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$

2. Le terme dominant de h est $- 2 x 3$

$\lim_{x\to+\infty}-2x^3=-\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty$
$\lim_{x\to-\infty}-2x^3=+\infty$ donc $\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$

3. Le terme dominant de k est $\frac12 x^3$

$\lim_{x\to+\infty}\frac12 x^3=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}k(x)=+\infty$
$\lim_{x\to-\infty}\frac12 x^3=-\infty$ donc $\lim_{x\to-\infty}k(x)=-\infty$

4. Le terme dominant de l est $-\frac13 x^7$

$\lim_{x\to+\infty}-\frac13 x^7=-\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}l(x)=-\infty$
$\lim_{x\to-\infty}-\frac13 x^7=+\infty$ donc $\lim_{x\to-\infty}l(x)=+\infty$

[modifier] Cas des fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

Théorème

La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en $-\infty$ et en $+\infty$ est

celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Limites de fractions rationnelles.

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

$f_1(x)=\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}$
$f_2(x)=\frac{x^4+2}{x^3+x}$
$f_3(x)=\frac{-\frac13x^2+5x-4}{x^5+1}$
$f_4(x)=\frac{5x^2}{x^2+1}$

Solution

Question 1

Le terme dominant du numérateur de ƒ₁ est -5x³, donc $\lim_{x\to+\infty}-5x^3+2x^2-x+7 =-\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₁ est 3x², donc $\lim_{x\to+\infty} 3x^2+1=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $\frac{-\infty}{+\infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₁ : $\frac{-5x^3}{3x^2}=-\frac53x$
On a $\lim_{x\to+\infty}-\frac53x =-\infty$ , donc $\lim_{x\to+\infty} f_1(x) =-\infty$
De même, on aboutit à $\lim_{x\to-\infty} f_1(x) =-\infty$

Question 2

Le terme dominant du numérateur de ƒ₂ est x⁴, donc $\lim_{x\to+\infty} x^4+2=+\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₂ est x³, donc $\lim_{x\to+\infty} x^3+x= +\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₂ : $\frac{x^4}{x^3}=x$
On a $\lim_{x\to+\infty} x=+\infty$ , donc $\lim_{x\to+\infty} f_2(x) =+\infty$
De même, on aboutit à $\lim_{x\to-\infty} f_2(x) =-\infty$

Question 3

Le terme dominant du numérateur de ƒ₃ est $-\frac13x^2$ , donc $\lim_{x\to+\infty} -\frac13x^2+5x-4=-\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₃ est x⁵, donc $\lim_{x\to+\infty}x^5+1 =+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $\frac{-\infty}{+\infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₃ : $\frac{-\frac13x^2}{x^5}=-\frac1{3x^3}$
On a $\lim_{x\to+\infty} -\frac1{3x^3}=0$ , donc $\lim_{x\to+\infty} f_3(x) =0$
De même, on aboutit à $\lim_{x\to-\infty} f_3(x) =0$

Question 4

Le terme dominant du numérateur de ƒ₄ est 5x², donc $\lim_{x\to+\infty} 5x^2=+\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₄ est x², donc $\lim_{x\to+\infty} x^2+1=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₄ : $\frac{5x^2}{x^2}=5$
On a $\lim_{x\to+\infty} 5=5$ , donc $\lim_{x\to+\infty} f_4(x) =5$
De même, on aboutit à $\lim_{x\to-\infty} f_4(x) =5$