Limites d'une fonction/Droites asymptotes

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**Droites asymptotes**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 8
Chap. préc. :	Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Chap. suiv. :	Exemple corrigé

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Limites d'une fonction/Droites asymptotes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Définition qualitative

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $\mathcal C$ .

Une droite $\mathcal D$ est dite asymptote à $\mathcal C$ lorsque $\mathcal C$ se rapproche infiniment de $\mathcal D$ .

On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

Les asymptotes horizontales
Les asymptotes verticales
Les asymptotes obliques

[modifier] Asymptote horizontale

Prenons la fonction inverse. On sait que $\lim_{x\to +\infty}\frac1x=0$ .

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse de rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses, qui est la droite d'équation $y=0\,$ .

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a $\lim_{x\to -\infty}\frac1x=0$ , donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $\mathcal C$ .

$\mathcal C$ admet une asymptote horizontale d'équation y = L

en +∞ ssi $\lim_{x\to +\infty}f(x)=L$
en -∞ ssi $\lim_{x\to -\infty}f(x)=L$

[modifier] Asymptote verticale

Prenons à présent la fonction $x\mapsto \frac1{x-x_1}$ , dont la courbe $\mathcal C$ est représentée ci-contre.

On a $\lim_{x\to x_1^+}\frac1{x-x_1}=+\infty$ et $\lim_{x\to x_1^-}\frac1{x-x_1}=-\infty$ .

On voit alors bien que $\mathcal C$ se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation $x=x_1\,$

On dit que $\mathcal C$ a pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_1\,$ en x₁.

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $\mathcal C$ .

$\mathcal C$ admet une asymptote verticale d'équation x = a ssi la limite de ƒ en a est infinie.

[modifier] Asymptote oblique

[modifier] Exemple 1

Exemple

Soit ƒ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :

$f:x\mapsto \frac{x^2+3}{x + 1}$

Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$
On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)\,$ . Pour tout $x\in\R^+$ , donner l'expression de E(x).
Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.
Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

1. Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$

On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in[0;+\infty[,~f(x)=...\,$

Or $\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$ et $\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$

Donc $\lim_{x \to +\infty}f(x)=...$

2. On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$ . Pour tout $x\in\R^+$ , donner l'expression de E(x).

Soit $x\in\R^+$

$E(x)=\cdots$

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$

Donc $\lim_{x \to +\infty} E(x)=\cdots$

4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Solution

1. Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$

On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in[0;+\infty[,~f(x)=\frac{x^2+3}{x + 1}=\frac{x^2\left(1+\frac3{x^2}\right)}{x\left(1+\frac1x\right)}=x\cdot\frac{1+\frac3{x^2}}{1+\frac1x}$

Or $\lim_{x\to +\infty}1+\frac3{x^2}=1$ et $\lim_{x\to+\infty}1+\frac1x=1$

Donc $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

2. On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$ . Pour tout $x\in\R^+$ , donner l'expression de E(x).

Soit $x\in\R^+$

$\begin{align} E(x)&=\frac{x^2+3}{x+1}-(x-1)\\ &=\frac{x^2+3}{x+1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}\\ &=\frac{x^2+3-(x^2-1)}{x+1}\\ &=\frac4{x+1}\\ \end{align}$

Pour tout $x\in\R^+,~E(x)=\frac4{x+1}$

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$\lim_{x \to +\infty}x+1=+\infty$

Donc $\lim_{x \to +\infty} E(x)=0$

4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

On remarque que l'écart entre la courbe de ƒ et la droite d'équation y = x - 1 se réduit quand x augmente. La courbe de ƒ semble ainsi se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.

[modifier] Théorème général sur les asymptotes obliques

Théorème

On pose pour tout $x,~E(x)= f(x)-(a.x+b)\,$

Si $\lim_{x \to +\infty}E(x)= 0\,$ , alors la droite d’équation $y = a.x + b\,$ est asymptote à la courbe de ƒ.

Si de plus $a \neq 0$ , la droite d’équation $y = ax + b\,$ n’est pas horizontale et on parle d’asymptote oblique.

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...\,$ et l'asymptote est ...

Définition

La quantité $E(x) = f(x)-(a.x + b)\,$ est appelée écart vertical algébrique entre la courbe et la droite.

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...\,$ .

Propriété

Si $E(x) > 0\,$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Si $E(x) < 0\,$ : la courbe est en dessous de son asymptote.

Dans l'exemple précédent :

$\begin{array}{c|ccc|} x&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~E(x)&&&\\ \hline \textrm{Position}&&&\\ \hline \end{array}$

Cas de l'exemple 1

Notons $\mathcal C$ la courbe de ƒ et $\mathcal D$ la droite d'équation y = x - 1

Pour tout $x\in\R^+,~E(x)=\frac4{x+1}$

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~E(x)&&+&\\ \hline \textrm{Position}&&\mathcal C\textrm{~au-dessus~de~}\mathcal D&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Exemple 2

Exemple

Soit g la fonction définie sur $I=[3 ;+\infty[$ par :

pour tout $x\in I,~g(x)=\frac{-2x^2+5x-3}{x-2}$

Déterminer le comportement de g en +∞
Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-\frac1{x-2}$
On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in I,~g(x)=\cdots$

Or, $\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$ et $\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$

Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\cdots$

2. Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-\frac1{x-2}$: $\begin{cases} a=\cdots\\ b=\cdots \end{cases}$

3. On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

Pour tout $x\in I,~E(x)=\cdots$

Or $\lim_{x \to +\infty}\cdots=\cdots$

Donc $\lim_{x \to +\infty} E(x)=\cdots$

On a les positions relatives :

$\begin{array}{c|ccc|} x&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~E(x)&&&\\ \hline \textrm{Position}&&&\\ \hline \end{array}$

Solution de l'exemple 2

1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in I,~g(x)=\frac{-2x^2+5x-3}{x-2}=\frac{x^2\left(-2+\frac5x-\frac3{x^2}\right)}{x\left(1-\frac2x\right)}=x\cdot\frac{-2+\frac5x-\frac3{x^2}}{1-\frac2x}$

Or, $\lim_{x \to +\infty}-2+\frac5x-\frac3{x^2}=-2$ et $\lim_{x \to +\infty}1-\frac2x=1$

Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$

2. Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-\frac1{x-2}$

Soit $x\in I$

$\begin{align} ax+b-\frac1{x-2}&=\frac{(ax+b)(x-2)}{x-2}-\frac1{x-2}\\ &=\frac{ax^2-2ax+bx-2b}{x-2}-\frac1{x-2}\\ &=\frac{ax^2+(b-2a)x-2b-1}{x-2}\\ \end{align}$

On veut que, pour tout $x\in I,\frac{-2x^2+5x-3}{x-2}=\frac{ax^2+(b-2a)x-2b-1}{x-2}$ , c'est-à-dire pour tout $x\in I,-2x^2+5x-3=ax^2+(b-2a)x-2b-1$

Deux fonctions polynomiales sont identiques en tout point si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux. On aboutit alors au système suivant :

$\begin{cases} -2=a\\ 5=b-2a\\ -3=-2b-1 \end{cases}$

Finalement

$\begin{cases} a=-2\\ b=1 \end{cases}$

3. On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

Pour tout $x\in I,~E(x)=-\frac1{x-2}$

Or $\lim_{x \to +\infty}x-2=+\infty$

Donc $\lim_{x \to +\infty} E(x)=0$

On en déduit que la droite $\mathcal D:y=-2x+1$ est asymptote à la courbe $\mathcal C_g$ de la fonction g.

L'étude du signe de E donne les positions relatives de $\mathcal C_g$ et $\mathcal D$ :

$\begin{array}{c|cccc|} x&3&&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~E(x)&&-&&\\ \hline \textrm{Position}&&\mathcal C_g\textrm{~en-dessous~de~}\mathcal D&&\\ \hline \end{array}$

Limites d'une fonction

Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

Exemple corrigé

Limites d'une fonction/Droites asymptotes

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Définition qualitative

[modifier] Asymptote horizontale

[modifier] Asymptote verticale

[modifier] Asymptote oblique

[modifier] Exemple 1

[modifier] Théorème général sur les asymptotes obliques

[modifier] Exemple 2

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