Limites d'une fonction/Exemple corrigé

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**Exemple corrigé**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 9
Chap. préc. :	Droites asymptotes
Chap. suiv. :	Définitions quantifiées de la notion de limite

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Limites d'une fonction/Exemple corrigé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exemple

Soit $f:x \mapsto \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}$ .

Déterminer l'ensemble de définition de f.
Quelles sont les limites de f aux bords de son domaine de définition ?

Sommaire

1 Question 1 : Domaine de définition de f
2 Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition

[modifier] Question 1 : Domaine de définition de f

Soit $x\in\R$

$-3x^2+5x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac13 \mbox{ ou } x=2$

Le domaine de définition de f est $\mathcal{D}_f= \mathbb{R}- \left\{-\frac 13;2 \right\}$

[modifier] Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en $-\frac{1}{3}$ et en 2.

[modifier] Étude en +∞ et en -∞

Soit $x\in\mathcal{D}_f$ On met en facteur les termes de plus haut degré : $\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=\frac{x^2\left(1-\frac3x+\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(-3+\frac5x+\frac2{x^2}\right)}=\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}$

$\lim_{x \to +\infty}-\frac3x=0$

$\lim_{x \to +\infty}\frac2{x^2}=0$

Donc $\lim_{x \to +\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1-0+0=1$

$\lim_{x \to +\infty}\frac5x=0$

$\lim_{x \to +\infty}\frac2{x^2}=0$

Donc $\lim_{x \to +\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3+0+0=-3$

Donc $\lim_{x \to +\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}=-\frac13$ , c'est-à-dire

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13$

De même, $\lim_{x \to -\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1$ et $\lim_{x \to -\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3$

Donc $\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13$

[modifier] Étude en 1/3

On pose les deux fonctions suivantes sur $\mathcal D_f$ :

$N:x\mapsto x^2-3x+2$
$D:x\mapsto -3x^2+5x+2$

On a ainsi pour tout $x\in\mathcal D_f,~f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$

$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}9$
$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=D \left( -\frac{1}{3} \right)=0$

On a devant nous une limite de la forme $\frac{l\not=0}0$ . Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de $\frac13$ .

$N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}$ donc N est positive au voisinage de $x=-\frac13$
La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac13&&2&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\ \hline \end{array}$

Nous pouvons à présent dire que :

pour $x<-\frac{1}{3}$

$D(x)<0\,$ et $N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0$

Ainsi $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = -\infty$

pour $x \in \left]-\frac{1}{3};2 \right[$

$D(x)>0\,$ et $N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0$

Ainsi, $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}$

[modifier] Étude en 2

$\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0$
$\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0$

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « $\frac00$ ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme $N(2)=0\,$ et $D(2)=0\,$ et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

Utilisation des relations coefficients-racines (voir le cours sur les équations du second degré)

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut $\frac ca=2$ .

On en déduit que pour tout $x\in\mathcal D_f,N(x)=(x-1)(x-2)$

Poser α la racine de N que l'on ne connaît pas et déduire α par identification de $x^2-3x+2\,$ et de $(x-2)(x-\alpha)=x^2-(\alpha+2)x+2\alpha\,$
Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ par induit beaucoup de calcul pour retomber un résultat que l'on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c'est une perte de temps.