Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction

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**Primitives d’une fonction**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Intégrale d’une fonction sur un intervalle

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Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problématique

La recherche de primitive est le problème inverse de la dérivation : il s’agit de retrouver une fonction « primitive » dont la dérivée est la fonction de départ.

[modifier] Définition

Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I.

On appelle primitive de ƒ toute fonction dérivable sur I souvent notée F telle que :

$F'(x)=f(x)\,$

[modifier] Exemples

Quelques primitives de fonctions très usuelles.

$f(x)=2x \qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction F(x) = x² est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = 2x.

$f(x)=1\qquad F(x)=\ldots$

Solution

La fonction F(x) = x est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = 1.

$f(x)=0\qquad F(x)=\ldots$

Solution

F(x) = 1 est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = 0.

$f(x)=-5\qquad F(x)=\ldots$

Solution

F(x) = -5x est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = -5.

$f(x)=x\qquad F(x)=\ldots$

Solution

F(x) = x²/2 est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = x.

$f(x)=3x^2\qquad F(x)=\ldots$

Solution

F(x) = x³ est une primitive de ƒ. En effet, F’(x) = f(x) = 3x².

On a vu que la dérivée d’une constante est nulle, par conséquent les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction a toujours une infinité de primitives (pour cette raison on dit « une primitive » et non « la primitive »)

$F(x)=x^2+3\,$
$G(x)=x^2-1\,$
$H(x)=x^2+5000\,$
$K(x)=x^2\,$
$I(x)=x^2+1,5\,$

Calculons les dérivées de chacune de ces fonctions :

$F'(x)=\ldots$
$G'(x)=\ldots$
$H'(x)=\ldots$
$K'(x)=\ldots$
$I'(x)=\ldots$

F, G, H, K, I sont donc toutes des primitives de

$f(x)=\ldots$

[modifier] Existence et non-unicité

Il est plus intéressant que la réciproque soit vraie. Toutes les primitives d’une fonction ƒ donnée ne diffèrent que d’une constante additive :

Théorème

Si la fonction F est une primitive de ƒ sur I,

alors toutes les primitives de ƒ sur I sont de la forme F + k où k est un nombre réel quelconque.

La question de l’existence d’une primitive est fondamentale : en effet il faut parfois être très astucieux pour en trouver. En mathématiques, on préfère savoir à l’avance que l’objet cherché existe, plutôt que de le chercher en vain. Or on peut démontrer le résultat suivant :

Théorème

Si une fonction ƒ est dérivable sur un intervalle I,

alors il existe une (infinité de) primitive F de ƒ sur I.

Une méthode élémentaire : On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :

$(k.u)'=k.u'\,$

[modifier] Exemple

Donner une primitive de $f(x)=x^2\,$ . On sait qu’il faut des $x 3$ , mais $(x^3)'=3x^2\,$ et non $x 2$ . On a donc l’idée d’anticiper la sortie du 3 en multipliant par son inverse $\frac13$ .