Étude de fonctions/Étude de fonctions

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[modifier] Introduction

L'étude de fonctions est une synthèse de toutes les notions entourant les fonctions. Il s'agit, à partir d'une expression donnée, de connaître son comportement et sa nature de manière théorique. L'étude d'une fonction a de nombreuses applications, elle s'applique à l'économie pour calculer le rendement de la production d'un produit, en physique pour étudier un phénomène en fonction du temps, de l'espace, en biologie, et dans de nombreux autres domaines. Nous allons dans la suite progresser en détaillant précisément le plan d'étude d'une application nommée f.

[modifier] Caractérisation

L'étude suit un plan logique et rigoureux.

• Toute application a un domaine de définition: , ou tout intervalle réel. Ce domaine correspond à l'ensemble des points où la valeur f(x) existe (par exemple, la fonction inverse n'est pas définie en 0).
• Elle a aussi un domaine de continuité en montrant que pour tout point du domaine l'application est continue: on utilise ici les limites en montrant que pour tout élément x₀ de l'ensemble on a :
• On cherche ensuite à simplifier l'étude, en étudiant la parité ou la périodicité de l'application.

Parité: on regarde (c'est important) d'abord si l'ensemble de définition est symétrique par rapport à l'origine. Ensuite on cherche f(-x), on regarde si c'est égal à -f(x) (fonction impaire) ou à f(x) (fonction paire). Attention, cette recherche doit être effectuée seulement si la parité paraît plausible (si f(x)= exp(x) ce n'est pas utile: e ⁻ x = 1 / e^x). L'existence d'une parité permet de n'étudier la fonction que pour les réels positifs, et d'en déduire les variations pur x négatif. Périodicité: on cherche un réel T tel que f(x+T)=f(x) ou plus généralement f(x+kT)=f(x) où k est un entier relatif. Ici aussi, il ne faut pas chercher inutilement ce genre de simplification. Le cas le plus courant (98% des cas) concerne les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, ...). De même, cette simplification permet d'étudier f sur un intervalle [x;x+T].

• On détermine ensuite le domaine de dérivabilité, en utilisant les propriétés de dérivation usuelles.
• On dérive ensuite la fonction, en utilisant les règles usuelles.
• On en déduit les variations suivant le signe de la dérivée (cela nécessite parfois un deuxième calcul de dérivée).
• On calcule ensuite les limites aux bornes de l'ensemble de continuité/dérivation, pour la fonction et sa dérivée (couramment en , et parfois en un point où f (ou f') n'est pas continue.

Prochains développements (en cours d'écriture):

• On cherche et calcule les valeurs remarquables: en plus des limites, il est parfois utile de calculer f(x) pour certaines valeurs de x, comme zéro pour les fonctions paires et impaires, ou pour les x où f(x)=0 si on vous le demande,...
• Enfin, il est parfois demandé (ou utile) de déterminer les asymptotes. Celles-ci se calculent en l'infini, et plus généralement aux bornes du domaine de continuité (la fonction inverse possède une asymptote verticale x=0.

Cette étude permet de dresser le tableau de variations qui récapitule toute l'étude. Un exemple d'étude de fonction se trouve ici: