Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

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**Définition du logarithme néperien**
Leçon : Fonction logarithme

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Propriétés algébriques du logarithme

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Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

À ce niveau, il y a deux manières très différentes d'aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

soit à partir de la fonction inverse
soit à partir de la fonction exponentielle

Nous allons présenter sur cette page les deux approches possibles.

Sommaire

1 Logarithme népérien et fonction inverse
2 Logarithme népérien et exponentielle
- 2.1 Définition
- 2.2 Dérivation de la fonction ln
3 Conséquences
4 Exemples

[modifier] Logarithme népérien et fonction inverse

Cette section nécessite des connaissances sur les primitives, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

[modifier] Problématique

Lorsqu'on cherche une primitive de $x\mapsto\frac1x$ comme on chercherait celle de $x\mapsto\frac1{x^2}$ , on essaye $x\mapsto\frac1{x^0}$ car l’exposant doit augmenter de 1 à la dérivation. Or, $\frac1{x^0}=\frac11=1$ , donc sa dérivée est nulle...

On pourrait démontrer que $x\mapsto\frac1x$ n’a pas de primitive parmi les fonctions usuelles. Pourtant, la fonction étant continue sur $\R^{+*}$ , un théorème nous assure l’existence d’une primitive…

[modifier] Définition de la fonction logarithme népérien

Définition

On appelle fonction logarithme népérien et on note ln

l’unique primitive de $x\mapsto\frac1x$ sur $\R^{+*}$ qui s'annule en x = 1.

Propriété

Pour tout $x\in\R^{+*},~\ln'(x)=\frac1x$
ln(1)=0

[modifier] Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

Définition

Le logarithme népérien d’un nombre réel x est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note ln(x)

[modifier] Logarithme népérien et exponentielle

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

[modifier] Définition

Rappel : Tableau de variations de exp

$\begin{array}{c|ccc|} x&-\infty&&+\infty\\ \hline & &&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~\exp&&\nearrow&\\ &0&& \end{array}$

Définition

Soit x un nombre réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de x

et on note ln(x) l’unique nombre réel tel que $\exp(\ln(x))=x\,$ .

Propriétés élémentaires

$\ln(1)=0\,$
Pour tout $x\in\R,~\ln(\exp(x))=x$

[modifier] Dérivation de la fonction ln

Dérivée de la fonction ln

Pour tout $x\in\R^{+*},~\ln'(x)=\frac1x$

Démonstration

On pose $f:x\mapsto \exp(\ln(x))$ , définie sur $\R^{+*}$

Soit $x\in\R^{+*}$

$f(x)=x\,$

$\begin{align} f'(x)&=1\\ &=\ln'(x)\cdot\exp(\ln(x))\\ &=x\,\ln'(x) \end{align}$

Donc pour tout $x\in\R^{+*},\,\ln'(x)=\frac1x$

[modifier] Conséquences

On ne peut prendre le ln que d’un nombre strictement positif.
ln(x) ne peut que rarement se trouver « à la main », il faut utiliser la touche ln (et non log) de la calculatrice.

[modifier] Exemples

Fonction logarithme

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Propriétés algébriques du logarithme

Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

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Sommaire

[modifier] Logarithme népérien et fonction inverse

[modifier] Problématique

[modifier] Définition de la fonction logarithme népérien

[modifier] Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

[modifier] Logarithme népérien et exponentielle

[modifier] Définition

[modifier] Dérivation de la fonction ln

[modifier] Conséquences

[modifier] Exemples

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