Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction

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Une activité d'introduction de l'exponentielle
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Annexe 2
Leçon : Fonction exponentielle
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Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] La fonction carré

Soit la fonction f\, définie sur \R par f:x\mapsto x^2.

  1. Donner l'expression de f'\,.
  2. Donner une relation entre f'\, et f\, sur \R^{+*}

Cette relation peut-être vue comme une équation différentielle dont l'inconnue est une fonction (ici f, notée plus généralement y), dont la fonction carré est solution.


Solution
  • Question 1 : Pour tout x\in\R,~f'(x)=2x
  • Question 2 : Pour tout x\in\R^{+*},~f'(x)=2\frac{f(x)}x
La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle y'=2\frac yx d'inconnue y.

[modifier] La fonction inverse

On définit la fonction f\, sur \R^{+*} par f:x\mapsto \frac{1}{x}.

  1. Donner l'expression de f'\,.
  2. Donner une équation différentielle d'inconnue y, dont la fonction inverse est solution.


Solution
  • Question 1 : Pour tout x\in\R^{+*},~f'(x)=-\frac1{x^2}
  • Question 2 : Pour tout x\in\R^{+*},~f'(x)=-\frac1xf(x)
La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle y'=-\frac yx

[modifier] La fonction cosinus

On définit la fonction f\, sur \R par f:x\mapsto\cos(x).

  1. Donner les expressions de f'\, et de f''\,
  2. Donner une équation différentielle d'inconnue y dont la fonction cosinus est solution, en utilisant l'expression de f''\,.


Solution
  • Question 1 :
Pour tout x\in\R,~f'(x)=-\sin(x)
Pour tout x\in\R,~f''(x)=-\cos(x)
  • Question 2 : Pour tout x\in\R,~f''(x)=-f(x)
La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle y''+y=0\,

[modifier] Exponentielle

Supposons qu'il existe une fonction f\, qui vérifie l'équation différentielle f'=f\, sur \R et supposons que f(0)=1\,

  1. Expliquer pourquoi cette fonction f\, sera nécessairement croissante.
  2. Que penser de sa « vitesse de croissance » ?


Solution
  • Question 1 :
Il est impossible qu'il existe un point x en lequel f'(x)<0\,. En effet, comme la fonction est égale à sa propre dérivée, elle serait décroissante en ne prenant que des valeurs négatives. Il est alors exclu qu'elle prenne la valeur 1 en 0.
f'\, ne peut donc prendre que des valeurs positives, ce qui conduit à f\, croissante.
  • Question 2 :
Si f(0)=1\,, on aura f'(0)=1\,, ce qui signifie que la fonction est croissante au voisinage de 0. Lorsque x grandit, f(x) devient « encore plus positif ». Comme la fonction est croissante et égale à sa propre dérivée, la pente de la tangente à la courbe de f est également croissante, ce qui signifie que la courbe se met à monter de plus en plus rapidement. La vitesse de croissance est alors extrêmement grande.
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