Ensemble (mathématiques)/Propriétés

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**Propriétés**
Leçon : Ensemble (mathématiques)

Chapitre 3
Chap. préc. :	Opérations
Chap. suiv. :	Produit

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Propositions :

L'intersection et la réunion sont idempotentes :
$\forall A, A\cap A=A$
$\forall A, A\cup A=A$
est élément:
- absorbant de l'intersection: $\forall A, A\cap \emptyset=\emptyset$ .
- neutre de la réunion: $\forall A, A\cup \emptyset=A$ .
L'intersection et la réunion sont commutatives :
$\forall A, \forall B, A\cap B=B\cap A$
$\forall A, \forall B, A\cup B=B\cup A$
L'intersection et la réunion sont associatives :
$\forall A, \forall B, \forall C, (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
$\forall A, \forall B, \forall C, (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
L'intersection est distributive par rapport à la réunion :
$\forall A, \forall B, \forall C, A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
La réunion est distributive par rapport à l'intersection:
$\forall A, \forall B, \forall C, A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ .

Demonstrations :

Soit A un ensemble. $A \cap A =\{x/( (x \in A) \, et \, (x \in A))\}=\{x/( x \in A \}=A$

De même pour la réunion

Soient A et B deux ensembles.

$A \cap B = \{x/((x \in A)\, et \, (x \in B))\}$

$=\{x/((x \in B)\, et \, (x \in A))\}=B \cap A$

De même pour la réunion

Soient A,B,C trois ensembles

$A \cap B=\{x/(x \in A)\, et\, (x \in B)\}$

$(A \cap B)\cap C=\{x/((x \in A)\, et\, (x \in B))\, et \, (x \in C) \}$

$=\{x/(x \in A)\, et\, ((x \in B))\, et \, (x \in C) \}$

$=A \cap (B \cap C)$

De même pour la réunion

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

Double passage au complémentaire :
$\forall A\in \mathcal P(E), \complement_E\left(\complement_E A\right)=A$ .
Lois de Morgan :
Le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires, et le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, c'est-à-dire
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), \complement_E\left(A\cap B\right)=\left(\complement_E A\right) \cup \left(\complement_E B\right)$
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), \complement_E\left(A\cup B\right)=\left(\complement_E A\right) \cap \left(\complement_E B\right)$
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow A\subset \complement_E B$
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), A\cup B=E\Leftrightarrow \complement_E B\subset A$
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), A\subset B\Leftrightarrow \complement_E B\subset \complement_E A$ .

[modifier] Propriétés de la différence symétrique

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

Commutativité de la différence symétrique :
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), A\Delta B=B\Delta A$ .
$\forall A\in \mathcal P(E), A\Delta A=\emptyset, A\Delta E=\complement_E A$ .
$\emptyset$ est élément neutre:
$\forall A\in \mathcal P(E), A\Delta \emptyset=A$ .
Associativité de la différence symétrique :
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), \forall C\in \mathcal P(E), (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$ .
Distributuvité de $\cap$ par rapport à $Δ$
$\forall A\in \mathcal P(E), \forall B\in \mathcal P(E), \forall C\in \mathcal P(E), A\cap (B\Delta C)=(A\cap B) \Delta (A\cap C)$ .