Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla »
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| Chapitre 6 | |||
| Leçon : Analyse vectorielle | |||
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| Chap. préc. : | Laplacien | ||
| Chap. suiv. : | Théorèmes d'analyse vectorielle | ||
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Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla » », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Introduction
Il est possible de regrouper tous les outils vectoriels abordés jusqu'ici sous un même cadre formel, qui facilite bien souvent leur mémorisation et leur utilisation. On introduit ainsi le vecteur formel nabla :
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Définition |
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Le vecteur formel nabla est l'opérateur : |
On retrouvera les expressions des autres outils vectoriels à partir de lui, mais il est important de garder à l'esprit qu'en toute rigueur, d'une part, son utilisation est un abus de notation et d'autre part elle n'a de sens qu'en coordonnées cartésiennes et en dimension 3.
Néanmoins, on l'utilise pour des raisons de simplicité bien au delà de ce seul cadre, mais il faudra se rappeler qu'il ne s'agit alors que d'un moyen mnémotechnique.
[modifier] Gradient, divergence, rotationnel
Soit M un champ vectoriel, soit N un champ scalaire.
En dimension 3, où ces notations ont un sens, on retrouve quelques propriétés, concernant par exemple le fait qu'un produit vectoriel est orthogonal à ses deux arguments.
[modifier] Laplacien
Le laplacien est défini comme la divergence du gradient. Soit N un champ scalaire :
[modifier] Exemple
Les équations de Maxwell s'écrivent, dans le vide :
