Analyse vectorielle/Laplacien

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Sommaire 1 Introduction 2 Expression explicite 3 Extension aux champs vectoriels 4 Exemples d'utilisation en physique

[modifier] Introduction

Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.

Définition

Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l'application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté Δ. En termes mathématiques :

[modifier] Expression explicite

L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :

Il est, comme l'opérateur divergence et l'opérateur gradient, linéaire et vérifie donc les mêmes propriétés concernant la dérivabilité et les combinaisons linéaires.

[modifier] Extension aux champs vectoriels

Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :

Définition

On définit l'opérateur laplacien vectoriel, noté Δ, par l'application qui à tout champ vectoriel M associe le champ vectoriel ΔM dont chaque coordonnée est le laplacien de chaque coordonnée de M. En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :

C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

[modifier] Exemples d'utilisation en physique

En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :

Remarque : une quantité dont le laplacien est nul est dite « harmonique ». On connait des solutions exactes dans ce cas.