Analyse vectorielle/Théorèmes d'analyse vectorielle

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**Théorèmes d'analyse vectorielle**
Leçon : Analyse vectorielle

Chapitre 7
Chap. préc. :	Vecteur formel « nabla »
Chap. suiv. :	D'Alembertien

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Analyse vectorielle/Théorèmes d'analyse vectorielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Introduction

Nous étudions dans ce chapitre les liens et théorèmes entre opérateurs qui se révèlent soit utiles soit nécessaires en analyse vectorielle.

[modifier] Composition d'opérateurs

Voici le résultat des principales compositions d'opérateurs :

Composition d'opérateurs vectoriels

$\mathrm{div} \left( \mathbf{rot} \right) = 0$
$\mathbf{rot} \left( \mathbf{rot} \right) = \mathbf{grad}\, \left( \mathrm{div} \right) - \Delta$
$\mathbf{rot} \left( \mathbf{grad} \right) = \mathbf 0$

Ces relations se démontrent aisément :

Démonstration

Première relation

Écrivons cette équation avec le vecteur nabla introduit au chapitre précédent. Soit un champ vectoriel M, alors :

$\nabla \cdot \left( \nabla \times \mathbf M \right)$

Or par définition, un produit vectoriel est orthogonal à ses deux arguments : $\scriptstyle \left( \nabla \times \mathbf M \right)$ est donc orthogonal à M et à nabla. Enfin, le produit scalaire est nul pour deux vecteurs orthogonaux, donc la relation est vérifiée.

Deuxième relation

Il faut développer l'expression du rotationnel à partir de la formule du double produit vectoriel :

$\mathbf u \times \left(\mathbf v\times \mathbf w\right) = (\mathbf u\cdot\mathbf w)\ \mathbf v\ -\ (\mathbf u\cdot\mathbf v)\ \mathbf w$

Soit un champ vectoriel M, on a avec la notation nabla :

$\begin{align} \mathbf \nabla \times \left(\mathbf \nabla\times \mathbf M\right) & = (\mathbf \nabla\cdot\mathbf M)\ \mathbf \nabla\ -\ (\mathbf \nabla\cdot\mathbf \nabla)\ \mathbf M \\ \ & = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf M \right) - \nabla^2 \mathbf M \\ \ & = \mathbf{grad}\, \mathrm{div} \, \mathbf M - \Delta \mathbf M \end{align}$

Ce qu'il fallait démontrer.

Troisième relation

Soit un champ scalaire M, alors la relation s'écrit :

$\nabla \times \left( \nabla M \right) = 0$

Or le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires (ici, nabla) est nul, donc cette quantité est nulle. La relation est démontrée.

Remarque : Ces théorèmes impliquent dans certains contextes la nécessité d'un choix de jauge. En effet, des quantités peuvent disparaître par une opération vectorielle sans influencer une mesure physique — on peut donc les « choisir » : c'est ce que l'on appelle un choix de jauge.

[modifier] Théorèmes d'existence

Théorème

Soit M un champ vectoriel. Si rot M = 0, alors il existe un champ scalaire φ tel que :

$\mathbf M = \mathbf{grad}\, \varphi$

Remarque

En mécanique des fluides, on pourra définir, pour les écoulements irrotationnels, un potentiel des vitesses, qui est une grandeurs scalaire (le champ des vitesses est vectoriel) aisément manipulable.

Théorème

Soit A et B deux champs scalaires. Alors il existe un champ vectoriel C tel que :

$\mathbf{rot\, C} = \mathbf{grad}\, A \times \mathbf{grad}\, B$

[modifier] Théorèmes de décomposition

Théorème de Helmholtz-Hodge

Tout champ vectoriel M créé par des sources (divergence de ρ) et leur déplacement (rotationnel de ρv) s'annulant à l'infini peut être décomposé de manière unique comme somme d'un champ vectoriel axial A (champ vectoriel vrai) et d'un champ vectoriel polaire P (champ pseudovectoriel) :

$\mathbf M = \mathbf A + \mathbf P$

Remarque

Cela est particulièrement vrai en électromagnétisme, où E est axial et B est polaire. Ce théorème s'étend bien au delà de ce seul cadre : on le retrouve en relativité générale, en sismologie ou en mécanique des fluides, par exemple.

[modifier] Autres relations

$\left(\mathbf{v}\cdot \nabla\right) \mathbf{v} = \frac12 \nabla \left(\mathbf{v}^2\right) - \mathbf{v} \times \left(\nabla \times \mathbf v\right)$

Cette relation est parfois utilisée pour reformuler l'accélération convective en mécanique des fluides.

Analyse vectorielle

Vecteur formel « nabla »

D'Alembertien

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Sommaire

[modifier] Introduction

[modifier] Composition d'opérateurs

[modifier] Théorèmes d'existence

[modifier] Théorèmes de décomposition

[modifier] Autres relations

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