Analyse vectorielle/D'Alembertien

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[modifier] Introduction

La généralisation de l'opérateur laplacien à quatre dimensions, sur un espace de Minkowski, amène naturellement à la formulation de l'opérateur d'Alembertien :

Définition

On appelle opérateur d'Alembertien l'application qui, à tout champ scalaire M, associe le champ scalaire dont la valeur en tout point est donnée par : L'opérateur d'Alembertien est noté :

De même que pour le laplacien, on peut définir l'opérateur d'Alembertien vectoriel qui applique le d'Alembertien à chaque coordonnée d'un champ vectoriel.

[modifier] Utilisations

L'opérateur d'Alembertien apparaît naturellement en théorie de la relativité, mais on peut remarquer qu'en électromagnétisme classique, les champs électrique et magnétique vérifient dans le vide :

La valeur de c dans le d'Alembertien est traditionnellement prise égale à la vitesse de la lumière dans le vide — mais il est tout à fait possible de la définir autrement selon le contexte. Par exemple, pour l'équation d'onde de d'Alembert, le déplacement transversal d'une corde y vérifie :

avec, en notant T la tension et μ la masse linéique :

.

Remarquons que les cas de champs scalaires ou vectoriels dont le d'Alembertien est nul admettent des solutions analytiques, sous la forme d'ondes se propageant à vitesse c.

[modifier] Remarques

Le d'Alembertien est en fait une généralisation du laplacien aux espaces de Minkowski, ce qui explique son lien à la mécanique relativiste.

Définition alternative

Dans certains contextes, on définit le d'Alembertien comme l'opposé : Par exemple, dans le formalisme traditionnel de la mécanique quantique relativiste, l'équation de Klein-Gordon (décrivant l'évolution d'une particule relativiste de spin nul par sa fonction d'onde Ψ,) est notée :