Analyse vectorielle/Rotationnel
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Sommaire |
[modifier] Introduction
Il existe encore un outil vectoriel élémentaire, qui permet de mesurer la « rotation » du champ.
[modifier] Définition
Pour des raisons de simplicité, on définit l'opérateur rotationnel par sa caractérisation, plutôt que par sa forme explicite.
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Définition |
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Soit F un champ vectoriel. L’opérateur rotationnel est l'application qui à F associe le champ vectoriel rot F, qui vérifie :
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.Il est possible de montrer que, en coordonnées cartésiennes,
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Définition |
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[modifier] Interprétation physique et exemple
Comme son nom l'indique, l'opérateur rotationnel donne une mesure de la « rotation » du champ. La direction d'un vecteur de ce champ donne l'axe de rotation, son intensité la vitesse de rotation autour de cet axe. S'agissant de vecteurs, on ne connait cependant pas le centre de la rotation. Un champ vectoriel de rotationnel nul est dit « irrotationnel ».
Par exemple, en mécanique des fluides, on définit le vecteur vorticité par :
.
Considérons le champ vectoriel suivant :
Il est défini par : 
.
On vérifie immédiatement que la vorticité vaut :
donc que le champ tourne dans le sens horaire (non-trigonométrique) autour de l'axe des z.
[modifier] Autre exemple
Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique suit la loi d'induction de Maxwell-Faraday :
Cela signifie que la variation du champ magnétique B crée un champ électrique — certains diraient un champ électrique « tournant », mais il n'y a pas de raisons particulières de coller une telle image.
[modifier] Propriétés
Comme l'opérateur divergence et l'opérateur gradient, l'opérateur rotationnel est linéaire et vérifie les mêmes propriétés concernant la dérivation et les combinaisons linéaires.
Le théorème de Stokes justifie la relation suivante :
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Théorème du rotationnel |
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Pour toute surface S, délimitée par le contour fermé C, pour tout champ vectoriel M, on a : |
Autrement dit, le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface égale la circulation de ce champ sur le contour de cette surface.
