Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe

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**Analyse vectorielle dans l'espace de Fourier**
Leçon : Analyse vectorielle

Chapitre 9
Chap. préc. :	D'Alembertien

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Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Introduction
2 Notations et rappels
3 Outils d'analyse vectorielle
4 Exemples
- 4.1 Exemple simple (relation de structure)
- 4.2 Exemple moins simple (nombre d'onde)

[modifier] Introduction

Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d'après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.

Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique E.

[modifier] Notations et rappels

Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :

$\mathbf E = \begin{pmatrix} E_{0,x} \cos (\omega t - k_xx+ \phi_x) \\ E_{0,y} \cos (\omega t - k_yy+ \phi_y) \\ E_{0,z} \cos (\omega t - k_zz + \phi_z) \end{pmatrix}$

Avec E_i des amplitudes de champs, $ω$ la pulsation de l'onde, k = (k_x, k_y, k_z) le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde k) et ϕ_i des éventuels déphasages. On rappelle que k est défini par k² = ω²/c².

On introduit la notation complexe :

$\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i (\omega t - k_xx+ \phi_x)} \\ E_{0,y} e^{i (\omega t - k_yy + \phi_y)} \\ E_{0,z} e^{i(\omega t - k_zz + \phi_z)} \end{pmatrix}$

De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :

$\mathbf E = \Re ( \mathcal E )$

On peut réécrire :

$\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i \phi_x} \\ E_{0,y} e^{i \phi_y} \\ E_{0,z} e^{i \phi_z} \end{pmatrix} e^{i (\omega t - \mathbf k \cdot \mathbf r)} = \mathcal E_0 e^{i (\omega t - \mathbf k \cdot \mathbf r)}$

Il est important à ce stade de noter que la quantité $\mathcal E_0$ n'est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.

Par ailleurs, la dérivation temporelle se fait en multipliant le vecteur par la quantité $i\omega\,$ .

[modifier] Outils d'analyse vectorielle

On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :

$\nabla = -i \mathbf k$

On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :

Divergence : $\mathrm{div} = - i \mathbf k \cdot$
Rotationnel : $\mathbf{rot} = - i \mathbf k \times$
Laplacien : $Δ = - k 2$

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple simple (relation de structure)

Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction x dans le vide, alors d'après l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm{div} \, \mathbf E = 0$

Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :

$\begin{align} -i k\mathbf e_x \cdot \mathcal E_0 e^{i(\omega t - k \mathbf r \cdot \mathbf e_x)} & = -ik e^{i(\omega t - kx)} \left( \mathbf e_x \cdot \mathcal E_0 \right) \end{align}$

Ainsi, on a :

$\Re \left( \mathbf e_x \cdot \mathcal E \right) = \mathbf e_x \cdot \mathbf E = 0$

C'est-à-dire qu'à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).

[modifier] Exemple moins simple (nombre d'onde)

Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :

$\Delta \mathbf E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = 0$

Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :

$\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = \Re \left( -\omega^2 \mathcal E \right)$

$\Delta \mathbf E = \Re \left( -k^2 \mathcal E\right)$

On a ainsi :

$\begin{align} -k^2 \mathcal E + \frac{1}{c^2} \omega^2 \mathcal E & = & 0 \\ -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} & = & 0 \\ k^2 & = & \frac{\omega^2}{c^2} \end{align}$

On retrouve la définition de k = ||k||, ce qui est rassurant.

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D'Alembertien

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Sommaire

[modifier] Introduction

[modifier] Notations et rappels

[modifier] Outils d'analyse vectorielle

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple simple (relation de structure)

[modifier] Exemple moins simple (nombre d'onde)

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