Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

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**Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b**
Leçon : Équation différentielle

Chapitre 3
Chap. préc. :	Fonction exponentielle
Chap. suiv. :	Équation différentielle linéaire du premier ordre

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équation différentielle : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b
Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives. L'équation y'=ay+b avec a et b réels est parmi les plus simples, mais aussi les plus importantes.

Sommaire

1 Équation différentielle y'=ay
2 Solutions de l'équation y'=ay+b
- 2.1 Exemples
3 La condition initiale
- 3.1 Exemples avec condition initiale

[modifier] Équation différentielle y'=ay

Théorème

a désigne un réel non nul.

Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay\,$ sont les fonctions :

$f(x) = k e^{ax}\,$ où k est une constante réelle quelconque.

Démonstration

Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
Réciproquement, si on a une autre solution g, on pose $φ(x) = g (x) e - a x$ .

En dérivant, on trouve que $φ'(x) = 0$ donc $φ$ est constante et $g (x)$ est de la forme annoncée.

[modifier] Solutions de l'équation y'=ay+b

Voir les exercices sur : Équations différentielles linéaires du premier ordre (Les 3 premiers exercices) et
l'exercice d'un sujet de bac S.

Théorème

a et b désignent des réels non nuls

Les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=ay+b \,$ sont les fonctions $f(x) = ke^{ax}-\frac{b}{a}$ , où k est une constante réelle quelconque.

Démonstration

Il est évident qu'une telle fonction est solution.
Réciproquement, si on a une autre solution $f (x)$ , posons $g(x)=f(x)+\frac{b}{a}$ . Alors g est solution de l'équation sans second membre et d'après le théorème précédent, elle se ramène à la forme annoncée.

[modifier] Exemples

Résoudre les équations suivantes.

$y' = y \,$
$y' = -2y \,$
$y' -2y =3\,$
$5y' -2y =3\,$

Solution

$y' = y \,$ admet pour ensemble de solution $S = \left\{ ke^x ; k \in \mathbb{R} \right\}$

$y' = -2y \,$ admet pour ensemble de solution $S = \left\{ ke^{-2x} ; k \in \mathbb{R} \right\}$

$y' - 2y =3 \,$ admet pour ensemble de solution $S = \left\{ ke^{2x} - \frac{3}{2} ; k \in \mathbb{R} \right\}$

$5y' - 2y =3 \,$ $\Leftrightarrow \,$ $y' = \frac{2}{5} y + \frac{3}{5} \,$ admet pour ensemble de solution $S = \left\{ ke^{\frac{2}{5}x} - \frac{3}{2} ; k \in \mathbb{R} \right\}$

[modifier] La condition initiale

Le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par une seul nombre $f(x)\,$

qui dépend de la variable $x\,$ (en général le temps).

La connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant $x=0\,$ par exemple) détermine l'état du système à tout instant.

C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Théorème de Cauchy

Deux nombres réels $x_0\,$ et $y_0\,$ étant donnés, il existe une unique solution $f\,$ de l'équation $y'=ay+b\,$ vérifiant $f(x_0) = y_0\,$ .

Démonstration

Il suffit de voir que la donnée de $x_0\,$ et $y_0\,$ suffit à fixer un unique $k\,$ .

[modifier] Exemples avec condition initiale

Résoudre les équations suivantes.

$y' = y \,$ ; $y(0)=1\,$
$y' = -2y \,$ ; $y(1)=3\,$
$y' -2y =3\,$ ; $y(0)=3\,$
$5y' -2y =3\,$ ; $y(-2)=0\,$

Solution

Avec les solutions précédemment trouvées,

$y' = y \,$ : la condition $y(0) = 1 \,$ impose $ke^0 = 1\,$ c'est-à-dire $k = 1\,$ d'où la solution unique $y = e^x \,$

$y' = -2y \,$ : la condition $y(1) = 3 \,$ impose $ke^{-2} = 3\,$ c'est-à-dire $k = 3e^2\,$ d'où la solution unique $y = 3e^{2(1-x)} \,$

$y' - 2y =3 \,$ : la condition $y(0) = 3 \,$ impose $ke^0 - \frac{3}{2} = 3\,$ c'est-à-dire $k = \frac{9}{2},$ d'où la solution unique $y = \frac{9}{2}e^{2x} - \frac{3}{2} \,$

$5y' - 2y =3 \,$ : la condition $y(-2) = 0 \,$ impose $ke^{\frac{-4}{5}} - \frac{3}{2} = 0\,$ c'est-à-dire $k = \frac{3}{2}e^{\frac{4}{5}} ,$ d'où la solution unique $y = \frac{3}{2}[e^{\frac{2}{5}(x+2)} - 1] \,$

Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

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Sommaire

[modifier] Équation différentielle y'=ay

[modifier] Solutions de l'équation y'=ay+b

[modifier] Exemples

[modifier] La condition initiale

[modifier] Exemples avec condition initiale

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