Équation différentielle/Définition

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Introduction sur les équations différentielles en général

Définitions

Une équation différentielle (E.D.) d'ordre n est une égalité liant une fonction et ses n premières dérivées. On peut l'écrire de la manière la plus générale :

$F(x,f,f',f'',...f^{(n)})(x)=c(x)$

où $F$ est une fonction de n + 1 variables et c une fonction de la variable x.

On appelle solution de l'E.D. toute fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle et vérifiant cette relation.

Résoudre une telle E.D. signifie : déterminer l'ensemble de ses solutions.

Remarques

• Les E.D. font donc partie des équations fonctionnelles, dont l'inconnue est une fonction, et non un nombre.
• Il existe une grande variété d'équations différentielles, et elles sont en général beaucoup plus difficiles à résoudre que les exemples classiques. On se limitera dans ce cours à ces derniers.

Équations différentielles linéaires

Définitions

Une équation différentielle d'ordre 1 est dite linéaire si elle est de la forme :

$a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$

où $a,b,c$ sont trois fonctions (à valeurs complexes) de la variable réelle, $a$ ne s'annulant pas.

L’équation homogène associée à cette dernière est :

$a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$.

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Un cas particulier important concerne le cas où les fonctions $a$ et $b$ sont constantes, la fonction c ne l'étant pas nécessairement :

Définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1 est dite à coefficients constants si elle est de la forme :

$af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)$

où $a\neq 0$ et $b$ sont deux nombres complexes et $c$ une fonction.