Équation différentielle/Définition

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**Équation différentielle du premier ordre**
Leçon : Équation différentielle

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Fonction exponentielle

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[modifier] Introduction sur les équations différentielles en général

Définition

Une équation différentielle (E.D) est une égalité liant une fonction et ses dérivées successives. On peut l'écrire de la manière la plus générale :

$R(f,f',f'',...f^{(n)})(x)=g(x)\,$

où R est une fonction de (n+1) variables et g une fonction de la variable x.

Les E.D font donc partie des équations fonctionnelles, dont l'inconnue est une fonction, et non un nombre.

Résoudre une telle E.D signifie : déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l'égalité.

Remarque : Il existe une grande variété d'équations différentielles, et elles sont en général beaucoup plus difficiles à résoudre que les équations simples. On se limitera dans ce cours aux exemples classiques.

[modifier] Équations différentielles linéaires

Définitions

Soient a, b et c trois fonctions de la variable réelle, a ne s'annulant pas. Soit f une fonction de $\scriptstyle \mathbb R$ dans $\scriptstyle \mathbb C$ dérivable. Une équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un est alors une relation de la forme :

$\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x \right) f'\left(x\right) + b\left( x \right) f\left(x\right) = c\left(x\right)$

L’équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un associée à cette dernière est :

$\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0$

On appelle solution de l'équation différentielle toute fonction dérivable vérifiant la relation concernée. On appelle ensemble des solutions de l'équation différentielle les seules fonctions vérifiant la relation concernée.

[modifier] Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Un cas particulier important concerne le cas où ces fonctions sont constantes :

Définitions

Soient a, b et c trois nombres complexes, a étant non-nul. Soit f une fonction de $\scriptstyle \mathbb R$ dans $\scriptstyle \mathbb C$ dérivable. Une équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants est alors une relation de la forme :

$\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = c$

L’équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants associée à cette dernière est :

$\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = 0$

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[modifier] Introduction sur les équations différentielles en général

[modifier] Équations différentielles linéaires

[modifier] Équations différentielles linéaires à coefficients constants

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