Valeur absolue/Valeur absolue et distance entre réels

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Valeur absolue d'un réel

Définition

Soit $x\in \mathbb {R}$.

La valeur absolue d'un nombre est le nombre qui, élevé au carré, équivaut à $x$ élevé au carré. Le nombre est donc égal à la valeur de $x$. La valeur absolue d'un nombre est ce même nombre auquel on enlève le signe négatif $(-)$.

La valeur absolue d'un nombre $a$ est égale à la racine du carré de $a$ et s'exprime comme suit :

$\left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}={\begin{cases}a\forall a\in ]0;+\infty [\\-a\forall a\in ]-\infty ;0[\\0\forall a=0\end{cases}}$.

Exemples

• Pour $a=2$, $|a|=2$.
• Pour $a=\pi$, $|a|=\pi$.
• Pour $a=-2$, $|a|=2$.

Distance entre réels

En représentant l’ensemble des nombres réels par un axe gradué, on constate que :

• La distance entre 2 et 5 est : 5-2 = 3 et non 2-5
• La distance entre -2 et 5 est : 5-(-2) = 7 et non -2-5
• La distance entre a et b est $b-a$ si $a\leq b$.

Il faut donc savoir dans quel ordre sont placés a et b, à moins d’utiliser la valeur absolue :

Début d’un théorème

Théorème

Soient a et b deux réels.

La distance entre a et b est : $d(a,b)=|b-a|=|a-b|$

Fin du théorème

Exemple

La distance entre -1,5 et 3 est :

$d(-1,5;3)=|-1,5-3|=4,5$.