Valeur absolue/Équations et inéquations

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L'objectif de ce chapitre est de déterminer les valeurs de la variable $x$ telles que les relations d'égalité et d'inégalité (équations et inéquations) soient vraies.

Équations

Équation |x| = a

Soit l'équation $|x|=a$

Cette relation est vraie si $x=a$ ou $x=-a$ et telle que $a\ge 0$

Les solutions de l'équation $|x|=a$ sont : $S=\{-a;a\}$

Équation |x-a| = b

Soit l'équation $|x-a|=b$

Cette relation est vraie si $x=a+b$ ou $x=a-b$ et telle que $b\ge 0$

Les solutions de l'équation $|x-a|=b$ sont : $S=\{a-b;a+b\}$

Équation |x-a| = |x-b|

Soit l'équation $|x-a|=|x-b|$

Cette relation est vraie quelles que soient les valeurs réelles des constantes $a$ et $b$ et si $x=\frac{a+b}{2}$

L'unique solution de l'équation $|x-a|=|x-b|$ est : $S=\{\frac{a+b}{2}\}$

Inéquations

Inéquations |x| < a et |x| > a

Inéquation |x| < a

Soit l'inéquation $|x|<a$

Cette relation est vraie si $x<a$ et $x>-a$ et telle que $a\ge 0$

L'ensemble-solution de l'inéquation $|x|<a$ est : $S=]-a;a[$

Inéquation |x| > a

Soit l'inéquation $|x|>a$

Cette relation est vraie si $x>a$ ou $x<-a$ et telle que $a\ge 0$

L'ensemble-solution de l'inéquation $|x|>a$ est : $S=]-\mathrm{\infty };-a[\bigcup ]a;+\mathrm{\infty }[$

Inéquations |x-a| < b et |x-a| > b

Inéquation |x-a| < b

Soit l'inéquation $|x-a|<b$

Cette relation est vraie si $x<a+b$ ou $x>a-b$ et telle que $b\ge 0$

L'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|<b$ est : $S=]a-b;a+b[$

Inéquation |x-a| > b

Soit l'inéquation $|x-a|>b$

Cette relation est vraie si $x<a-b$ ou $x>a+b$ et telle que $b\ge 0$

L'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|>b$ est : $S=]-\mathrm{\infty };a-b[\bigcup ]a+b;+\mathrm{\infty }[$

Inéquations |x-a| < |x-b| et |x-a| > |x-b|

Inéquation |x-a| < |x-b|

Soit l'inéquation $|x-a|<|x-b|$

Cette relation est vraie quelles que soient les valeurs réelles des constantes $a$ et $b$

• Si $a<b$, l'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|<|x-b|$ est : $S=]-\mathrm{\infty };\frac{a+b}{2}[$
• Si $a>b$, l'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|<|x-b|$ est : $S=]\frac{a+b}{2};+\mathrm{\infty }[$

Inéquation |x-a| > |x-b|

Soit l'inéquation $|x-a|>|x-b|$

Cette relation est vraie quelles que soient les valeurs réelles des constantes $a$ et $b$

• Si $a<b$, l'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|>|x-b|$ est : $S=]\frac{a+b}{2};+\mathrm{\infty };[$
• Si $a>b$, l'ensemble-solution de l'inéquation $|x-a|>|x-b|$ est : $S=]-\mathrm{\infty };\frac{a+b}{2}[$