↗
1
/
2
J
e
r
e
s
t
e
A
c
c
i
d
e
n
t
→
1
/
3
J
e
m
e
b
a
r
r
e
↘
1
/
6
J
e
m
e
s
u
i
c
i
d
e
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&{\underset {\scriptstyle {1/2}}{\nearrow }}&{\rm {Je~reste}}\\{\rm {Accident}}&{\underset {\scriptstyle {1/3}}{\rightarrow }}&{\rm {Je~me~barre}}\\&{\underset {\scriptstyle {1/6}}{\searrow }}&{\rm {Je~me~suicide}}\\\end{array}}}
Versions de la vidéo
Sans sous-titres Avec sous-titres
Modèle:Imagedual
Choix d'un vecteur d'état x
Vecteur des entrées u
Équation d'état
Équation dynamique :
x
˙
=
f
(
x
,
u
)
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}
Équation de sortie :
y
=
y
(
x
,
u
)
{\displaystyle y=y(x,u)}
Dans le cas d'un système linéaire
{
x
˙
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+Bu\\y=Cx+Du\end{cases}}}
x vecteur d'état, dimension n
A , matrice qui caractérise la dynamique du système (matrice carrée de taille n )
B , Action des entrées sur l'état du système
C , matrice de sortie (de taille l xn si l sorties)
D , transferts directs entrées/sorties (l xm )
En général, D=0
Application à une équation différentielle d'ordre 2
y
¨
+
2
ζ
ω
0
y
˙
+
ω
0
2
y
=
u
{\displaystyle {\ddot {y}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {y}}+\omega _{0}^{2}y=u}
Choix du vecteur d'état :
x
=
(
y
y
˙
)
{\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}y\\{\dot {y}}\end{array}}\right)}
x
˙
=
(
y
˙
y
¨
)
=
(
y
˙
u
−
2
ζ
ω
0
y
˙
−
ω
0
2
y
)
=
(
0
1
−
ω
0
2
−
2
ζ
ω
0
)
x
+
(
0
1
)
u
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&={\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\u-2\zeta \omega _{0}{\dot {y}}-\omega _{0}^{2}y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-\omega _{0}^{2}&-2\zeta \omega _{0}\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}u\\\end{aligned}}}
y
˙
=
(
0
1
)
x
{\displaystyle {\dot {y}}={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}x}
Soit le système défini par les équations suivantes :
{
τ
y
˙
+
y
=
k
u
y
(
0
)
{\displaystyle {\begin{cases}\tau {\dot {y}}+y=ku\\y(0)\end{cases}}}
Réponse temporelle à un échelon
u
0
Γ
(
t
)
{\displaystyle u_{0}\Gamma (t)}
Réponse temporelle à une rampe
α
t
{\displaystyle \alpha t}
On passe dans l'espace de Laplace :
L
(
τ
y
˙
+
y
)
=
L
(
k
u
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\tau {\dot {y}}+y)={\mathcal {L}}(ku)}
τ
(
s
Y
(
s
)
−
Y
(
0
−
)
)
+
Y
(
s
)
=
k
U
(
s
)
{\displaystyle \tau (sY(s)-Y(0^{-}))+Y(s)=kU(s)}
Y
(
s
)
=
k
U
(
s
)
+
τ
y
(
0
−
)
1
+
τ
s
=
k
1
+
τ
s
U
(
s
)
+
τ
y
(
0
−
)
1
+
τ
s
{\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {kU(s)+\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}\\&={\frac {k}{1+\tau s}}U(s)+{\frac {\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}\end{aligned}}}
u
(
t
)
=
u
0
Γ
(
t
)
⇒
U
(
s
)
=
u
0
s
{\displaystyle u(t)=u_{0}\Gamma (t)\Rightarrow U(s)={\frac {u_{0}}{s}}}
La réponse à cette entrée est donc, dans le domaine fréquentiel,
Y
(
s
)
=
k
u
0
s
(
1
+
τ
s
)
+
τ
y
(
0
−
)
1
+
τ
s
{\displaystyle Y(s)={\frac {ku_{0}}{s(1+\tau s)}}+{\frac {\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}}
Dans le domaine temporel, cela donne
y
(
t
)
=
u
0
k
(
1
−
e
−
t
/
τ
)
+
y
(
0
−
)
e
−
t
/
τ
{\displaystyle y(t)=u_{0}k\left(1-e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }}
u
(
t
)
=
α
t
⇒
U
(
s
)
=
u
0
s
2
{\displaystyle u(t)=\alpha t\Rightarrow U(s)={\frac {u_{0}}{s^{2}}}}
La réponse à cette entrée est donc, dans le domaine fréquentiel,
Y
(
s
)
=
k
α
s
2
(
1
+
τ
s
)
+
y
(
0
−
)
s
+
1
τ
{\displaystyle Y(s)={\frac {k\alpha }{s^{2}(1+\tau s)}}+{\frac {y(0^{-})}{s+{\frac {1}{\tau }}}}}
Dans le domaine temporel, cela donne
y
(
t
)
=
k
α
(
t
−
τ
+
τ
e
−
t
/
τ
)
+
y
(
0
−
)
e
−
t
/
τ
{\displaystyle y(t)=k\alpha \left(t-\tau +\tau e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }}
Tangente à l'origine :
y
′
(
0
)
=
−
1
τ
y
(
0
−
)
{\displaystyle y'(0)=-{\frac {1}{\tau }}y(0^{-})}
Soit le système défini par les équations suivantes :
{
τ
y
˙
+
y
=
k
1
u
+
k
2
u
˙
y
(
0
)
{\displaystyle {\begin{cases}\tau {\dot {y}}+y=k_{1}u+k_{2}{\dot {u}}\\y(0)\end{cases}}}
Réponse temporelle à un échelon
u
0
Γ
(
t
)
{\displaystyle u_{0}\Gamma (t)}
On passe dans l'espace de Laplace :
τ
(
s
Y
(
s
)
−
y
(
0
−
)
)
+
Y
(
s
)
=
k
1
U
(
s
)
+
k
2
(
s
U
(
s
)
−
U
(
0
−
)
{\displaystyle \tau (sY(s)-y(0^{-}))+Y(s)=k_{1}U(s)+k_{2}(sU(s)-U(0^{-})}
U
(
s
)
=
u
0
s
{\displaystyle U(s)={\frac {u_{0}}{s}}}
τ
s
Y
(
s
)
−
τ
y
(
0
−
)
+
Y
(
s
)
=
k
1
u
0
s
+
k
2
u
0
{\displaystyle \tau sY(s)-\tau y(0^{-})+Y(s)={\frac {k_{1}u_{0}}{s}}+k_{2}u_{0}}
Y
(
s
)
=
(
k
1
u
0
s
+
k
2
u
0
+
τ
y
(
0
−
)
)
1
1
+
τ
s
{\displaystyle Y(s)=\left({\frac {k_{1}u_{0}}{s}}+k_{2}u_{0}+\tau y(0^{-})\right){\frac {1}{1+\tau s}}}
Dans le domaine temporel :
y
(
t
)
=
k
1
u
0
(
1
−
e
−
t
/
τ
)
+
y
(
0
−
)
e
−
t
/
τ
+
k
2
u
0
τ
e
−
t
/
τ
+
y
(
0
−
)
{\displaystyle y(t)=k_{1}u_{0}\left(1-e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }+{\frac {k_{2}u_{0}}{\tau }}e^{-t/\tau }+y(0^{-})}
Le terme
k
2
u
0
τ
e
−
t
/
τ
{\displaystyle {\frac {k_{2}u_{0}}{\tau }}e^{-t/\tau }}
correspond physiquement à un saut de condition initiale. Ce saut violent est capable de casser un moteur, faire bouger très brusquement un bras robotisé... La prudence est donc de mise !