Utilisateur:Victor Alric/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité D

Question 1

Voici le nouveau graphe connexe, obtenu en utilisant les réseaux projetés II de Zélie et Emma : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:R%C3%A9seau_projet%C3%A9_2_-_activit%C3%A9_D.jpg

FYI : le lien "piano" entre [Armance] et [Émilia] a volontairement été supprimé pour ne pas encombrer le graphe, néanmoins le raisonnement reste exactement le même.

Voici le graphique pour la distribution de degrés : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Distribution_de_degr%C3%A9s_-_activit%C3%A9_D.jpg

Question 2

Pour déterminer la corrélation de voisins entre degré et degré, il nous faut le degré des nœuds (objet de la question précédente) et le degré des voisins. Pour chaque nœud, le degré des voisins se calcule en faisant une moyenne.

Exemple : le nœud [Emma] a 2 voisins : [Victor] (degré : 14) et [Émilia] (degré : 7) Ainsi, la corrélation de voisins entre degré et degré du nœud [Emma] vaut : c([Emma]) = (14+7)/2 = 10,5. On procède de la même façon pour les autres nœuds.

On obtient donc :

Nœud	Degré	Corrélation de voisins entre degré et degré	Explications
[Emma]	4	10,5	c([Emma]) = (14+7)/2 = 10,5
[Émilia], [Thibaud]	7	8,725	c([Émilia]) = (14+8+4+7+8)/5 = 8,2 et c([Thibaud]) = (14+7+8+8)/4 = 9,25, d’où moyenne = (8,2+9,25)/2 = 8,725
[Armance], [Zélie]	8	9	c([Armance]) = c([Zélie]) = (7+8+14+7)/4 = 9
[Victor]	14	6,8	c([Victor]) = (8+8+7+4+7)/5 = 6,8

Voici le graphique pour la corrélation de voisins entre degré et degré : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Degr%C3%A9_de_voisins_-_activit%C3%A9_D.jpg

Question 3

On remarque une corrélation négative entre degré et degré de voisins. En effet, les nœuds à petit degré sont connectés à des nœuds à plus grand degré. Ainsi, le réseau est dissortatif.

Question 4

Pour un nœud i, le coefficient de clustering c(i) vaut : c(i) = paires de voisins connectés/((n(i)*(n(i)-1))/2) On obtient ainsi :

Nœud	Coefficient de clustering	Explications
[Victor]	0,7	7/(5*4/2) = 0,7
[Armance]	0,67	4/(4*3/2) = 0,67
[Zélie]	0,67	4/(4*3/2) = 0,67
[Thibaud]	0,67	4/(4*3/2) = 0,67
[Emma]	1	1/(2*1/2) = 1
[Émilia]	0,4	4/(5*4/2) = 0,4

Question 5

Voici le tableau pour la corrélation combinée entre degré et coefficient de clustering :

Degré	Corrélation combinée
4	1
7	(0,67+0,4)/2 = 0,535
8	0,67
14	0,7

Le graphique pour la corrélation combinée entre degré et coefficient de clustering est le suivant : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Corr%C3%A9lation_combin%C3%A9e_-_activit%C3%A9_D.jpg

Question 6

Graphique et tableau 1 : le réseau comporte une quantité importe de nœuds très connectés. En effet, 5 nœuds ont un degré supérieur ou égal à 7. À l’inverse, il y a peu de nœuds non connectés, car 1 nœud sur 6 a un degré égal à 4.

Graphique et tableau 2 : globalement, plus un nœud est connecté, moins ses voisins le sont.

Graphique et tableau 3 : de manière générale, plus un nœud est connecté, plus son coefficient de clustering est faible. Malgré tout, celui-ci reste plutôt élevé pour tous les nœuds.

Question 7

On choisit le nœud [Victor], dont le coefficient de clustering vaut 7/10, soit 0,7. Ce nœud possède 5 voisins ([Thibaud], [Armance], [Zélie], [Émilia] et [Emma]). Au vu des connexions, il suffirait d’ajouter un lien entre [Thibaud] et [Emma], un autre entre [Armance] et [Emma], et enfin un dernier entre [Emma] et [Zélie]. Ainsi, le coefficient de clustering vaudrait 10/10, soit 1.

Question 8

On choisit le nœud [Emma], dont le coefficient de clustering vaut 1. Ce nœud ne possède que 2 voisins : [Victor] et [Émilia]. Comme ces trois nœuds sont mutuellement liés par deux liens à chaque fois, le plus grand ensemble de liens que nous pouvons retirer du réseau sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering vaut 20. On peut en effet retirer l’ensemble des autres nœuds du réseau (total : 17), en plus de 3 liens entre les nœuds [Victor], [Émilia] et [Emma].

Question 9

Proximité = inverse de la somme des distances entre le nœud et chacun des autres.

Nœud	Proximité
[Victor]	1/(1+1+1+1+1) = 1/5
[Zélie]	1/(1+2+1+1+1) = 1/6
[Armance]	1/(1+1+2+1+1) = 1/6
[Thibaud]	1/(1+1+2+1+1) = 1/6
[Emma]	1/(1+2+2+2+1) = 1/8
[Émilia]	1/(1+1+1+1+1) = 1/5

Les nœuds [Victor] et [Émilia] ont la plus grande proximité, concordant avec le fait qu’ils soient les plus connectés au reste du réseau. Le nœud [Emma] a la plus petite proximité, car il n’a que 2 voisins et est donc le moins connecté au reste du réseau.

Intermédiarité = la somme, pour chaque paire des autres nœuds, de la fraction des chemins les plus courts entre ces nœuds qui passent par le premier.

Nœud	Intermédiarité
[Victor]	1+1+1/2+1+1+1 = 5,5
[Zélie]	0
[Armance]	0
[Emma]	0
[Émilia]	0
[Thibaud]	0

[Victor] a la plus grande intermédiarité.