Utilisateur:ValentinBernadou/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité E

Mon Réseau

Je m'appelle Valentin Bernadou.

On prend donc L1=a et L2=d.

J'enlève un lien de a vers b et j'en rajoute un de f vers d.

Composantes

Les composantes fortement connexes sont {a, d, f}, {b}, {c} et {e}.

La composante {c} concentre toute la matière, c'est donc le noeud le plus central.

Vecteur propres et Page Rank

I. Matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle

Ordre dans la matrice : L1, b, c, L2, e, f d'où :

$A={\begin{pmatrix}0&0&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}0&0&1/2&1/2&0&0\\0&0&1/2&0&1/2&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1/2&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

$M^{t}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&0&0&0&1/2\\0&1/2&0&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

II. J'initialise mon vecteur de matière distribuant également une matière totale de  6 :

$V_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$

Je procède au calcul d'une itération de la centralité de vecteur propre :

$M^{t}V_{0}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&0&0&0&1/2\\0&1/2&0&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/2\\0\\3/2\\1\\1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

On a une matière totale qui est passée à 5.

Comme c est un noeud sans issue, on le traite comme s'il était connecté à tout les noeuds, d'où :

$A={\begin{pmatrix}0&0&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&1\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}0&0&1/2&1/2&0&0\\0&0&1/2&0&1/2&0\\1/5&1/5&0&1/5&1/5&1/5\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1/2&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

$M^{t}={\begin{pmatrix}0&0&1/5&0&1&1/2\\0&0&1/5&0&0&0\\1/2&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&1/5&0&0&1/2\\0&1/2&1/5&0&0&0\\0&0&1/5&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

d'où le nouveau résultat :

$M^{t}V_{0}={\begin{pmatrix}17/10\\1/5\\3/2\\6/5\\7/10\\7/10\end{pmatrix}}$

La matière totale est bien de 6 ici.

Il faut ensuite multiplier la matière dans chaque nœud par 0,9 , puis partagez également 0,1 de la matière totale entre tous les nœuds.

Donc on doit avoir :

${\displaystyle M^{t}V_{0}*0,9+0,1}=9/10*{\begin{pmatrix}17/10\\1/5\\3/2\\6/5\\7/10\\7/10\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}163/100\\28/100\\145/100\\118/100\\73/100\\73/100\end{pmatrix}}$

Encore une fois, la matière totale est bien de 6 ici aussi.