Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I - Correction

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MECANIQUE[modifier | modifier le wikicode]

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre[modifier | modifier le wikicode]

    1. A partir de , avec et , on obtient :
      Donc :

    2. L'énergie cinétique est donnée par :
      où :
      donc

      L'énergie potentielle est donnée par :

    3. La seule force à laquelle est soumise la barre est la force de pesanteur, conservative, donc il y a conservation de l'énergie mécanique.
      En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps, on obtient :
      En simplifiant par , on obtient :
      D'où l'équation différentielle :

    4. Pour de petits mouvements, on effectue un développement au premier ordre de , , d'où l'équation différentielle :
      En notant , les solutions de cette équation sont :
      et sont des constantes déterminées par les conditions initiales :
      • , donc
      • , donc
      donc et d'où la solution de l'équation différentielle :

      A.N. : Avec on a

Partie 2 - Oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

    1. Le ressort exerce sur la plateforme une force
      L'énergie potentielle emmagasinée par le ressort est définie par :
      Avec on obtient :
      Puis par intégration en prenant la convention  :

    2. L'énergie cinétique est donnée par :
      En l'absence de frottement (liaison supposée parfaite), les forces exercées sur la plateforme soit ne travaille pas (poids, réaction des guides), soit dérivent d'une énergie potentielle (force de rappel du ressort). Il y a donc conservation de l'énergie mécanique.

      Puis par dérivation :

      D'où l'équation différentielle pour la variable

    3. Avec , les solutions de cette équation différentielle sont :
      et sont des constantes dépendant des conditions initiales.
      • , donc
      • , donc
      On obtient et , d'où l’expression de en fonction du temps :

Partie 3 - Oscillations couplées[modifier | modifier le wikicode]

    1. L'accélération de est donnée par :

      Avec on a :

      puis

      Le référentiel lié à la plateforme étant en translation par rapport au référentiel du laboratoire, la loi de composition des mouvements donne :

      Avec et , on obtient :

    2. En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la tige, dans le référentiel du laboratoire, on a :
      En projection sur les axes et , on obtient :

    3. est le moment cinétique barycentrique donc :

    4. En dérivant l’expression précédente :

      D'après le théorème du moment cinétique barycentrique :



      On obtient :

    5. La relation précédente avec les expressions de et déterminées en 3.2 donne :
      Dans la partie 1, est choisit tel que , d'où l'équation différentielle :

    6. Dans l'hypothèse des petits mouvements et d'où :

      avec et

      Application numérique : Avec la valeur de de la partie 1, on a .

    7. La plateforme est soumise
      • à son poids
      • à la force de rappel élastique
      • à la réaction d'axe s'exerçant sur la plateforme
      Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la plateforme dans le référentiel galiléen du laboratoire donne :
      En projection sur l'axe , on obtient :
      Et d’après l’expression de obtenue en 3.2 :
      En constatant que , on obtient :

    8. Dans l'hypothèse des petits mouvements et
      On obtient l'équation différentielle :

      avec et

    9. , on obtient

      et sont des coefficients sans dimension et donc

    10. On cherche des solutions du système
      sous la forme et , on a nécessairement :
      donc nécessairement
      avec les valeurs (question 3.9), et (correspondant aux applications numériques des questions 3.6 et 3.9) on obtient l'équation :
      dont les solutions sont

      et

    11. Le système des équations I et II étant linéaire, les expressions de et proposées sont bien solutions, et ces solutions vérifient :
      De plus avec
      On vérifie bien
      et