Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II - Correction

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Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétique[modifier | modifier le wikicode]

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre[modifier | modifier le wikicode]

    1. Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.1.a - schéma 1.svg

      Le champ magnétique créé par une spire parcourue par un courant , en un point de son axe de symétrie, depuis lequel la spire est vue sous un angle est donné par :

      Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.1.a - schéma 2.svg

      Une section de hauteur du solénoïde , vue depuis sous un angle , crée en un champ magnétique :

      Comme on a :

      donc

      On obtient alors l’expression du champ magnétique élémentaire créé en  :

      Le solénoïde étant supposé très long (infini), on obtient le champ magnétique en un point de l'axe par intégration :

      Ce champ est constant sur l'axe.
      La distribution de courant étant invariante par rotation d'axe et par translation d'axe en coordonnées cylindriques, le champ magnétique ne dépend que de .
      La distribution de courant étant anti-symétrique par rapport à tout plan contenant l'axe , le champ magnétique est dirigé selon en tout point de l'espace, donc est de la forme :

      Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.1.a - schéma 3.svg

      On applique le théorème d'Ampère au contour représenté ci-contre :

      étant orthogonal à sur deux des côtés de , on a :

      • si  :
      • si  :

      On obtient donc le champ magnétique :

    2. Le coefficient d'inductance se calcule en ajoutant le flux magnétique traversant chacune des sprires du solénoïde  :
      On a alors le coefficient d'inductance

      De même

      Application numérique :

    3. Soit le flux de au travers du solénoïde . Le coefficient de mutuelle inductance est défini par :

      donc

    1. Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.2.a - schéma 1.svg
      Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.2.a - schéma 2.svg

      En notant le flux total traversant le solénoïde , on a d’après la loi de Faraday et d’après la loi d'Ohm . Donc

      Or , d'où l'équation différentielle

      En régime permanent on a . Avec la notation complexe l'equation précédente devient :

      d'où

      On obtient le résultat :

      avec et

      Or et donc

    2. Le champ à l'intérieur de solénoïde s'obtient par superposition des champs créés par et , soit d’après la question 1.a :
      Soit en notation complexe, et d’après la question précédente :
      En tenant compte de on obtient l'amplitude complexe du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde  :

      D'où la norme de ce champ magnétique :

      laquelle tend vers 0 lorsque ω tend vers l'infini.

      A haute fréquence le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde tend vers 0.