Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II

Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétique

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

On rappelle les expressions de la divergence et du rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques

$𝐝𝐢𝐯(𝐀)=\frac{1}{r}\frac{\partial (r{A}_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

$𝐫𝐨𝐭(𝐀)=(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}){𝐞}_r+(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}){𝐞}_{𝜽}+\frac{1}{r}(\frac{\partial (r{A}_{\theta })}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }){𝐞}_z$

On rappelle que $𝐫𝐨𝐭(𝐫𝐨𝐭(𝐀))=𝐠𝐫𝐚𝐝(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(𝐀))-𝜟(𝐀)$ et la valeur de la perméabilité magnétique du vide :

${\mu }_0=4\pi 10^{-1}\mathrm{H}\mathrm{\cdot }{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

On utilisera les coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)$ et la base locale associée $({𝐞}_r,{𝐞}_{\theta },{𝐞}_z)$.

Dans tout le problème, on se place dans l'approximation des régimes quasi permanents.

Les trois parties sont indépendantes.

PARTIE I

On considère deux solénoïdes ${\mathrm{\Sigma }}_1$ et ${\mathrm{\Sigma }}_2$ coaxiaux, d'axe $Oz$, de même longueur $L=20\mathrm{c}\mathrm{m}$, de rayons $r_1=10\mathrm{c}\mathrm{m}$ et $r_2=20\mathrm{c}\mathrm{m}$ et comportant respectivement $N_1=700$ et $N_2=500$ spires jointives, enroulées dans le même sens (voir Figure 1). Dans toute la suite on négligera les effets de bord; on considèrera donc les solénoïdes comme très longs. Ces deux bobines ont pour résistance respectivement $R_1$ et $R_2=50\mathrm{\Omega }$. On pourra introduire les nombres de spires par unité de longueur $n_i=\left(\frac{N_i}{L}\right)$.

Figure 1. Vue en coupe longitudinale

1. Le solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_1$, est parcouru par un courant d'intensité $i$, ${\mathrm{\Sigma }}_2$, étant en circuit ouvert.
   1. Exprimer le champ magnétique ${𝐁}_{\mathrm{𝟏}}$, créé dans tout l'espace.
   2. En déduire que le coefficient d'inductance $L_1$, de ${\mathrm{\Sigma }}_1$, vaut ${\mu }_0\left(\frac{N_1^2}{L}\right)\pi r_1^2$; donner l’expression de $L_2$, l'inductance de ${\mathrm{\Sigma }}_2$, et calculer sa valeur numérique.
   3. Définir le coefficient de mutuelle inductance $M$ entre les deux solénoïdes. Montrer que $M={\mu }_0\left(\frac{N_1{N}_2}{L}\right)\pi r_2^2$.
2. Le solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_1$, est alimenté par un générateur idéal de courant électromoteur $i_0(t)=I_0\cos (\omega t)$ avec $I_0=1\mathrm{A}$; les deux extrémités du solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_2$, sont reliées par un fil sans résistance.
   1. Déterminer l'amplitude complexe du courant $i_2(t)$ circulant dans ${\mathrm{\Sigma }}_2$, en fonction de $M$, $L_2$ et $R_2$. La mettre sous la forme $\underset{\_}{i_2}=\frac{Kj\frac{\omega }{{\omega }_c}\underset{\_}{i_0}}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_c}}$. On donnera l’expression de $K$ en fonction de $N_1$ et $N_2$ et celle de ${\omega }_c$ en fonction de $R_2$ et $L_2$.
   2. En déduire l’expression de l'amplitude complexe $\underset{\_}{N_2}$, du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_2$.
      Montrer que ce champ tend vers 0 à haute fréquence. Commenter ce résultat.
   3. Application numérique; calculer ${\omega }_c$ ainsi que les amplitudes de $i_2(t)$ et de ${𝐁}_{\mathrm{𝟐}}$, pour une fréquence de $11\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$. Calculer le rapport des amplitudes $\left(\frac{B_2}{B_1}\right)$.

PARTIE II

Le solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_2$, est remplacé par un cylindre conducteur de rayon intérieur $r_2=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, d'épaisseur $h=50\mathrm{m}$, de longueur $L$ et de conductivité $\gamma =4\cdot 10^7\mathrm{S}\mathrm{\cdot }{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$. On néglige à nouveau les effets de bord. Dans un premier temps, on assimile le cylindre à une surface.

Le solénoïde ${\mathrm{\Sigma }}_1$, est traversé par un courant $i_0(t)=I_0\cos (\omega t)$.

1. Justifier rapidement que l’on puisse écrire ${𝐣}_{𝐒}=\gamma h𝐄$ où ${𝐣}_{𝐒}$ est la densité de courant surfacique sur le conducteur et $𝐄$ le champ électrique au même point. Justifier que ${𝐣}_{𝐒}$ est orthoradial.
2. 1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace.
   2. Calculer le champ magnétique ${𝐁}_{𝐞}$ dans l'espace $r_2<r<r_1$.
   3. Montrer que le champ magnétique ${𝐁}_{𝐢}$ est uniforme dans l'espace $r<r_2$.
   4. Déterminer la direction du champ électrique $𝐄$ pour $r<r_2$; en déduire l’expression de l'amplitude complexe de ce champ au niveau du cylindre conducteur en fonction de $\underset{\_}{B_i}$, l'amplitude complexe de ${𝐁}_{𝐢}$.
   5. En déduire la relation $\underset{\_}{B_i}=\frac{\underset{\_}{B_e}}{1+j\omega \tau }$ où $\underset{\_}{B_e}$ désigne l'amplitude complexe de ${𝐁}_{𝐞}$; on exprimera $\tau$ en fonction de $h$, $r_2$, $\gamma$ et ${\mu }_0$.
   6. Application numérique. $I_0=1\mathrm{A}$, la fréquence est de $11\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$; calculer l'amplitude du champ ${𝐁}_{𝐞}$, celle de ${𝐁}_{𝐢}$ ainsi que l'amplitude de l'intensité qui traverse le conducteur.
      À quel phénomène l'écrantage du champ magnétique est-il dû ?
3. Estimation de la pulsation de coupure
   Dans ce paragraphe, le conducteur cylindrique, qui n'est plus assimilé à une surface, est seul dans l'espace.
   On cherche à caractériser le cylindre par son inductance $L_2$, et par sa résistance $R_2$.
   1. On suppose le cylindre parcouru par une densité volumique uniforme de courant orthoradiale $𝐣=j{𝐞}_{𝜽}$; déterminer le champ magnétique dans tout l'espace.
   2. Déterminer l'intensité du courant $I$ qui traverse une section droite du conducteur de longueur $L$ et de hauteur $h$.
   3. Calculer l'énergie magnétique dans tout l'espace en négligeant la contribution du volume du cylindre $r_2<r<r_2+h$. En déduire l’expression de l'inductance $L_2$.
   4. Pour calculer la résistance $R_2$, on fend le cylindre selon une génératrice et on soumet les deux bords obtenus à une différence de potentiel $U$ (voir Figure 2).

      Fichier:Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - schéma 2.svg

      Figure 2. Cylindre vu de face

      On suppose que les courants se répartissent uniformément dans le volume.
      Relier la densité de courant au champ électrique, puis à la différence de potentiel; en déduire la résistance.

   5. Construire un temps caractéristique; à quelle grandeur peut-on le comparer ?

PARTIE III. Champ magnétique dans un conducteur

1. Équation générale
   On considère un conducteur de conductivité $\gamma$, dans lequel existe un champ magnétique.
   Montrer que le champ vérifie l'équation différentielle $\mathrm{\Delta }𝐁={\mu }_0\gamma \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$.
2. On cherche une solution harmonique de la forme complexe $\underset{\_}{𝐁}(M,t)=\underset{\_}{B}(x)\exp (i\omega t){𝐞}_z$.
   Déterminer la solution générale $\underset{\_}{B}(x)$; on posera $\underset{\_}{k}=\frac{1+i}{\delta }$ avec $\delta =\sqrt{\frac{2}{{\mu }_0\gamma \omega }}$.
3. Calculer numériquement $\delta$ avec $\gamma =4\cdot 10^7\mathrm{S}\mathrm{\cdot }{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$, $f=11\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$.
   Peut-on justifier l'approximation, que les champs sont uniformes dans le cylindre, étudiée en II.3 ?