Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II

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Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétique[modifier | modifier le wikicode]

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.


On rappelle les expressions de la divergence et du rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques

On rappelle que et la valeur de la perméabilité magnétique du vide :

.


On utilisera les coordonnées cylindriques et la base locale associée .


Dans tout le problème, on se place dans l'approximation des régimes quasi permanents.

Les trois parties sont indépendantes.

PARTIE I[modifier | modifier le wikicode]

On considère deux solénoïdes et coaxiaux, d'axe , de même longueur , de rayons et et comportant respectivement et spires jointives, enroulées dans le même sens (voir Figure 1). Dans toute la suite on négligera les effets de bord; on considèrera donc les solénoïdes comme très longs. Ces deux bobines ont pour résistance respectivement et . On pourra introduire les nombres de spires par unité de longueur .

Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - schéma 1.svg
Figure 1. Vue en coupe longitudinale
  1. Le solénoïde , est parcouru par un courant d'intensité , , étant en circuit ouvert.
    1. Exprimer le champ magnétique , créé dans tout l'espace.
    2. En déduire que le coefficient d'inductance , de , vaut ; donner l’expression de , l'inductance de , et calculer sa valeur numérique.
    3. Définir le coefficient de mutuelle inductance entre les deux solénoïdes. Montrer que .
  2. Le solénoïde , est alimenté par un générateur idéal de courant électromoteur avec ; les deux extrémités du solénoïde , sont reliées par un fil sans résistance.
    1. Déterminer l'amplitude complexe du courant circulant dans , en fonction de , et . La mettre sous la forme . On donnera l’expression de en fonction de et et celle de en fonction de et .
    2. En déduire l’expression de l'amplitude complexe , du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde .
      Montrer que ce champ tend vers 0 à haute fréquence. Commenter ce résultat.
    3. Application numérique; calculer ainsi que les amplitudes de et de , pour une fréquence de . Calculer le rapport des amplitudes .

PARTIE II[modifier | modifier le wikicode]

Le solénoïde , est remplacé par un cylindre conducteur de rayon intérieur , d'épaisseur , de longueur et de conductivité . On néglige à nouveau les effets de bord. Dans un premier temps, on assimile le cylindre à une surface.

Le solénoïde , est traversé par un courant .

  1. Justifier rapidement que l’on puisse écrire est la densité de courant surfacique sur le conducteur et le champ électrique au même point. Justifier que est orthoradial.
    1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace.
    2. Calculer le champ magnétique dans l'espace .
    3. Montrer que le champ magnétique est uniforme dans l'espace .
    4. Déterminer la direction du champ électrique pour ; en déduire l’expression de l'amplitude complexe de ce champ au niveau du cylindre conducteur en fonction de , l'amplitude complexe de .
    5. En déduire la relation désigne l'amplitude complexe de ; on exprimera en fonction de , , et .
    6. Application numérique. , la fréquence est de ; calculer l'amplitude du champ , celle de ainsi que l'amplitude de l'intensité qui traverse le conducteur.
      À quel phénomène l'écrantage du champ magnétique est-il dû ?
  2. Estimation de la pulsation de coupure
    Dans ce paragraphe, le conducteur cylindrique, qui n'est plus assimilé à une surface, est seul dans l'espace.
    On cherche à caractériser le cylindre par son inductance , et par sa résistance .
    1. On suppose le cylindre parcouru par une densité volumique uniforme de courant orthoradiale ; déterminer le champ magnétique dans tout l'espace.
    2. Déterminer l'intensité du courant qui traverse une section droite du conducteur de longueur et de hauteur .
    3. Calculer l'énergie magnétique dans tout l'espace en négligeant la contribution du volume du cylindre . En déduire l’expression de l'inductance .
    4. Pour calculer la résistance , on fend le cylindre selon une génératrice et on soumet les deux bords obtenus à une différence de potentiel (voir Figure 2).
      Figure 2. Cylindre vu de face

      On suppose que les courants se répartissent uniformément dans le volume.
      Relier la densité de courant au champ électrique, puis à la différence de potentiel; en déduire la résistance.

    5. Construire un temps caractéristique; à quelle grandeur peut-on le comparer ?

PARTIE III. Champ magnétique dans un conducteur[modifier | modifier le wikicode]

  1. Équation générale
    On considère un conducteur de conductivité , dans lequel existe un champ magnétique.
    Montrer que le champ vérifie l'équation différentielle .
  2. On cherche une solution harmonique de la forme complexe .
    Déterminer la solution générale ; on posera avec .
  3. Calculer numériquement avec , .
    Peut-on justifier l'approximation, que les champs sont uniformes dans le cylindre, étudiée en II.3 ?