Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I

MÉCANIQUE

Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, mouvements pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes. Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un repère orthonormé direct $O'xyz$ et on note ${\overrightarrow {e_{x}}}$, ${\overrightarrow {e_{y}}}$, ${\overrightarrow {e_{z}}}$, les vecteurs unitaires correspondants aux trois axes. L'axe $O'y$ étant vertical orienté positivement vers le haut, le vecteur accélération dû à la pesanteur s'écrit ${\overrightarrow {g}}=-g{\overrightarrow {e_{y}}}$ avec $g=10{\rm {m\cdot s^{-2}}}$.

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre

On considère une tige homogène, de masse $m$, de longueur $2L$ et de centre d'inertie $G$ (les dimensions transversales de la tige sont négligeables devant $L$). Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical $xO'y$ (voir schéma n^o1). Soit un point $O$ appartenant à la tige tel que $OG=l<L$. On note $Gz$ un axe passant par $G$, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur ${\overrightarrow {e_{z}}}$; de même, on note $Oz$ un axe passant par $O$, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur ${\overrightarrow {e_{z}}}$. On donne le moment d'inertie du solide relativement à l'axe $Gz$, soit $I_{G}=\left({\frac {mL^{2}}{3}}\right)$.

1. 1. Le moment d'inertie $I_{O}$ de la tige relativement à l'axe $Oz$ peut se calculer à partir de la formule $I_{O}=I_{G}+ml^{2}$ (formule découlant du théorème de Huygens). On désire obtenir $I_{O}=\left({\frac {3}{2}}ml^{2}\right)$, déterminer la valeur du rapport $\left({\frac {l}{L}}\right)$ dans ce cas. Ceci sera maintenu dans la suite du problème (partie 3).
   2. Soumise l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan $xO'y$, l'axe $Oz$ (étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle $\theta =\theta (t)$. La liaison en O étant supposée parfaite, la réaction d'axe en $O$ se limite à une force ${\overrightarrow {R}}$ agissant en $O$.
      Établir les expressions de l'énergie cinétique $E_{c}$ et de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{p}$, du solide en fonction de $m$, $l$, $\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ et $g$.
   3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement; en déduire l'équation différentielle pour la variable $\theta$.
   4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec $\theta (0)=\theta _{0}=0,1{\rm {rad}}$ ce qui correspond à des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3.; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée $\omega _{1}$.
      A.N. $l=\left({\frac {20}{9}}\right){\rm {m}}\approx 2,22{\rm {m}}$

Schéma n^o1

Partie 2 - Oscillateur harmonique

Une plateforme-support, de masse $M$, de centre d'inertie $O$, est guidée de façon à ne pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe $O'x$ (voir schéma n^o2). Elle comporte un évidemment dont l’intérêt apparaîtra à la partie 3. La liaison guides-plateforme est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur $K$, l'autre extrémité du ressort étant fixée au point $O'$. On repère la position de la plateforme par l'abscisse $x$ du point $O$, soit ${\overrightarrow {O'O}}=x(t)\cdot {\overrightarrow {e_{x}}}$. La longueur au repos du ressort étant $l_{0}$, à l'équilibre, cette abscisse vaut donc $x_{0}=l_{0}+d$, $2d$ désignant la longueur de la plateforme (voir schéma n^o3). On écarte le point $O$ de sa position d'équilibre d'une quantité $X_{0}$ et on lâche la plateforme sans vitesse initiale.

2. 1. On pose $X=x-(l_{0}+d)$. Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction, de $K$ et $X$.
   2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de $K$, $M$, $X$, $\left({\frac {dX}{dt}}\right)$; celle-ci étant constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la variable $X$.
   3. Déterminer l’expression de $X$ en fonction du temps.

Schéma n^o2

Schéma n^o3

Partie 3 - Oscillations couplées

La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma n^o4. L'articulation en $O$ étant supposée parfaite, on note ${\overrightarrow {R}}=T{\overrightarrow {e_{x}}}+N{\overrightarrow {e_{y}}}$, la réaction d'axe s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment $X$ et $\theta$, deux fonctions du temps. On notera ${\overrightarrow {e_{r}}}$ et ${\overrightarrow {e_{\theta }}}$, les deux vecteurs unitaires de la base polaire du plan vertical : ${\overrightarrow {e_{r}}}={\frac {\overrightarrow {OG}}{\|OG\|}}$, ${\overrightarrow {e_{\theta }}}$ se déduisant de ${\overrightarrow {e_{r}}}$ par une rotation de $+\left({\frac {\pi }{2}}\right){\rm {rad}}$.

3. 1. Exprimer l'accélération de $O$ suivant ${\overrightarrow {e_{x}}}$, puis $\left({\frac {d^{2}{\overrightarrow {OG}}}{dt^{2}}}\right)$ suivant ${\overrightarrow {e_{r}}}$ et ${\overrightarrow {e_{\theta }}}$, en fonction de $X(t)$, $\theta (t)$ et de leurs dérivées; en déduire les composantes du vecteur ${\overrightarrow {\Gamma _{G}}}$ accélération de $G$, dans le référentiel du laboratoire, suivant ${\overrightarrow {e_{x}}}$ et ${\overrightarrow {e_{y}}}$.
   2. Par application du théorème de la résultante cinétique à la tige, écrire les expressions de $N$ et $T$ en fonction de $m$, $g$, $l$, $\theta$, $\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$, $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$, $\left({\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}\right)$.
   3. Déterminer l’expression du moment cinétique ${\overrightarrow {\sigma _{G}}}$ de la barre, relativement au point $G$, dans le référentiel du laboratoire.
   4. Écrire $\left({\frac {d{\overrightarrow {\sigma _{g}}}}{dt}}\right)$ et établir une relation liant la quantité $I_{G}\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$ et $N$, $T$, $l$, $\theta$.
   5. D'après les questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle faisant intervenir $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$, $\theta$ et $\left({\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}\right)$.
   6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la question 3.5. peut s'écrire sous la forme : $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)+\omega _{1}^{2}\theta =-\alpha {\frac {d^{2}(X/l)}{dt^{2}}}$ (équation I) où $\alpha$ est un coefficient dont on donnera l'expression.
   7. Par application du théorème de la résultante cinétique à la plateforme, en projection sur l'axe des $x$, écrire une équation différentielle faisant intervenir $\left({\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}\right)$, $X$, $\theta$, $\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$.
   8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue peut se mettre sous la forme : ${\frac {d^{2}}{dt}}\left({\frac {X}{l}}\right)+\omega _{2}^{2}{\frac {X}{l}}=-\beta {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ (équation II).
      Expliciter les expressions de la pulsation $\omega _{2}$ et du coefficient $\beta$.
   9. On donne : $m=4,5{\rm {kg}}$; $M=1,5{\rm {kg}}$; $K=24{\rm {N\cdot m^{-1}}}$.
      Calculer les valeurs numériques de $\omega _{2}^{2}$ et du produit $\alpha \beta$.
   10. On recherche des solutions du système des équations I et II sous la forme $\theta =A\cos \Omega t$ et $\left({\frac {X}{l}}\right)=B\cos \Omega t$ où $\Omega$ est une pulsation a priori inconnue, $A$ et $B$ étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de $\Omega ={\sqrt {2}}{\rm {rad\cdot s^{-1}}}$ et $\Omega =2{\sqrt {3}}{\rm {rad\cdot s^{-1}}}$ sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre $\omega _{1}={\sqrt {3}}{\rm {rad\cdot s^{-1}}}$ et $\omega _{2}=2{\rm {rad\cdot s^{-1}}}$).
   11. Montrer que :
       $\left\{{\begin{array}{l}\theta ={\cfrac {3}{5}}\cos \left[{\sqrt {2}}t\right]+{\cfrac {2}{5}}\theta _{0}\cos \left[2{\sqrt {3}}t\right]\\{\frac {X}{l}}={\cfrac {9}{20}}\theta _{0}\left(\cos \left[{\sqrt {2}}t\right]-\cos \left[2{\sqrt {3}}t\right]\right)\end{array}}\right.$
       constituent une solution du système des équations I et II, vérifiant les conditions initiales $\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)(0)=0$, $\theta (0)=\theta _{0}$, $X(0)=0$, $\left({\frac {dX}{dt}}\right)(0)=0$.

Schéma n^o4