Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I

MÉCANIQUE

Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, mouvements pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes. Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un repère orthonormé direct $O^{'} x y z$ et on note $\vec{e_{x}}$ , $\vec{e_{y}}$ , $\vec{e_{z}}$ , les vecteurs unitaires correspondants aux trois axes. L'axe $O^{'} y$ étant vertical orienté positivement vers le haut, le vecteur accélération dû à la pesanteur s'écrit $\vec{g} = - g \vec{e_{y}}$ avec $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ .

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre

On considère une tige homogène, de masse $m$ , de longueur $2 L$ et de centre d'inertie $G$ (les dimensions transversales de la tige sont négligeables devant $L$ ). Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical $x O^{'} y$ (voir schéma n^o1). Soit un point $O$ appartenant à la tige tel que $O G = l < L$ . On note $G z$ un axe passant par $G$ , perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur $\vec{e_{z}}$ ; de même, on note $O z$ un axe passant par $O$ , perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur $\vec{e_{z}}$ . On donne le moment d'inertie du solide relativement à l'axe $G z$ , soit $I_{G} = (\frac{m L^{2}}{3})$ .

1. Le moment d'inertie $I_{O}$ de la tige relativement à l'axe $O z$ peut se calculer à partir de la formule $I_{O} = I_{G} + m l^{2}$ (formule découlant du théorème de Huygens). On désire obtenir $I_{O} = (\frac{3}{2} m l^{2})$ , déterminer la valeur du rapport $(\frac{l}{L})$ dans ce cas. Ceci sera maintenu dans la suite du problème (partie 3).
2. Soumise l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan $x O^{'} y$ , l'axe $O z$ (étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle $θ = θ (t)$ . La liaison en O étant supposée parfaite, la réaction d'axe en $O$ se limite à une force $\vec{R}$ agissant en $O$ .
  Établir les expressions de l'énergie cinétique $E_{c}$ et de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{p}$ , du solide en fonction de $m$ , $l$ , $(\frac{d θ}{d t})$ et $g$ .
3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement; en déduire l'équation différentielle pour la variable $θ$ .
4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec $θ (0) = θ_{0} = 0, 1 r a d$ ce qui correspond à des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3.; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée $ω_{1}$ .
  A.N. $l = (\frac{20}{9}) m \approx 2, 22 m$

Schéma n^o1

Partie 2 - Oscillateur harmonique

Une plateforme-support, de masse $M$ , de centre d'inertie $O$ , est guidée de façon à ne pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe $O^{'} x$ (voir schéma n^o2). Elle comporte un évidemment dont l’intérêt apparaîtra à la partie 3. La liaison guides-plateforme est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur $K$ , l'autre extrémité du ressort étant fixée au point $O^{'}$ . On repère la position de la plateforme par l'abscisse $x$ du point $O$ , soit $\vec{O^{'} O} = x (t) \cdot \vec{e_{x}}$ . La longueur au repos du ressort étant $l_{0}$ , à l'équilibre, cette abscisse vaut donc $x_{0} = l_{0} + d$ , $2 d$ désignant la longueur de la plateforme (voir schéma n^o3). On écarte le point $O$ de sa position d'équilibre d'une quantité $X_{0}$ et on lâche la plateforme sans vitesse initiale.

1. On pose $X = x - (l_{0} + d)$ . Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction, de $K$ et $X$ .
2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de $K$ , $M$ , $X$ , $(\frac{d X}{d t})$ ; celle-ci étant constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la variable $X$ .
3. Déterminer l’expression de $X$ en fonction du temps.

Schéma n^o2

Schéma n^o3

Partie 3 - Oscillations couplées

La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma n^o4. L'articulation en $O$ étant supposée parfaite, on note $\vec{R} = T \vec{e_{x}} + N \vec{e_{y}}$ , la réaction d'axe s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment $X$ et $θ$ , deux fonctions du temps. On notera $\vec{e_{r}}$ et $\vec{e_{θ}}$ , les deux vecteurs unitaires de la base polaire du plan vertical : $\vec{e_{r}} = \frac{\vec{O G}}{‖ O G ‖}$ , $\vec{e_{θ}}$ se déduisant de $\vec{e_{r}}$ par une rotation de $+ (\frac{π}{2}) r a d$ .

1. Exprimer l'accélération de $O$ suivant $\vec{e_{x}}$ , puis $(\frac{d^{2} \vec{O G}}{d t^{2}})$ suivant $\vec{e_{r}}$ et $\vec{e_{θ}}$ , en fonction de $X (t)$ , $θ (t)$ et de leurs dérivées; en déduire les composantes du vecteur $\vec{Γ_{G}}$ accélération de $G$ , dans le référentiel du laboratoire, suivant $\vec{e_{x}}$ et $\vec{e_{y}}$ .
2. Par application du théorème de la résultante cinétique à la tige, écrire les expressions de $N$ et $T$ en fonction de $m$ , $g$ , $l$ , $θ$ , $(\frac{d θ}{d t})$ , $(\frac{d^{2} θ}{d t^{2}})$ , $(\frac{d^{2} X}{d t^{2}})$ .
3. Déterminer l’expression du moment cinétique $\vec{σ_{G}}$ de la barre, relativement au point $G$ , dans le référentiel du laboratoire.
4. Écrire $(\frac{d \vec{σ_{g}}}{d t})$ et établir une relation liant la quantité $I_{G} (\frac{d^{2} θ}{d t^{2}})$ et $N$ , $T$ , $l$ , $θ$ .
5. D'après les questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle faisant intervenir $(\frac{d^{2} θ}{d t^{2}})$ , $θ$ et $(\frac{d^{2} X}{d t^{2}})$ .
6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la question 3.5. peut s'écrire sous la forme : $(\frac{d^{2} θ}{d t^{2}}) + ω_{1}^{2} θ = - α \frac{d^{2} (X / l)}{d t^{2}}$ (équation I) où $α$ est un coefficient dont on donnera l'expression.
7. Par application du théorème de la résultante cinétique à la plateforme, en projection sur l'axe des $x$ , écrire une équation différentielle faisant intervenir $(\frac{d^{2} X}{d t^{2}})$ , $X$ , $θ$ , $(\frac{d θ}{d t})$ et $(\frac{d^{2} θ}{d t^{2}})$ .
8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue peut se mettre sous la forme : $\frac{d^{2}}{d t} (\frac{X}{l}) + ω_{2}^{2} \frac{X}{l} = - β \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}$ (équation II).
  Expliciter les expressions de la pulsation $ω_{2}$ et du coefficient $β$ .
9. On donne : $m = 4, 5 k g$ ; $M = 1, 5 k g$ ; $K = 24 N \cdot m^{- 1}$ .
  Calculer les valeurs numériques de $ω_{2}^{2}$ et du produit $α β$ .
10. On recherche des solutions du système des équations I et II sous la forme $θ = A \cos Ω t$ et $(\frac{X}{l}) = B \cos Ω t$ où $Ω$ est une pulsation a priori inconnue, $A$ et $B$ étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de $Ω = \sqrt{2} r a d \cdot s^{- 1}$ et $Ω = 2 \sqrt{3} r a d \cdot s^{- 1}$ sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre $ω_{1} = \sqrt{3} r a d \cdot s^{- 1}$ et $ω_{2} = 2 r a d \cdot s^{- 1}$ ).
11. Montrer que :
  ${\begin{matrix} θ = \frac{3}{5} \cos [\sqrt{2} t] + \frac{2}{5} θ_{0} \cos [2 \sqrt{3} t] \\ \frac{X}{l} = \frac{9}{20} θ_{0} (\cos [\sqrt{2} t] - \cos [2 \sqrt{3} t]) \end{matrix}$
  constituent une solution du système des équations I et II, vérifiant les conditions initiales $(\frac{d θ}{d t}) (0) = 0$ , $θ (0) = θ_{0}$ , $X (0) = 0$ , $(\frac{d X}{d t}) (0) = 0$ .

Schéma n^o4