Utilisateur:Shouissa98/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité E

Réseau

Mon nom complet est Skander Houissa. Etant donné que c'est la même lettre qui apparait soit le a, je ne vais utiliser que mon prénom.

En prenant la 1ère et la dernière lettre en commun avec le graphe, j'ai L1=a et L2=E.

J'enlève le lien de de L1 à C. Je rajoute ensuite un lien de C à L2.

Graphe de l'activité E

Composantes

1) L'ensemble du réseau est une composante fortement connexe soit (L1,b,c,L2,f)

2) Tous les noeuds du graphe construit ont au minimum deux voisins.

L1 est le noeud le plus central car il possè de 4 voisins.

b, c, d et L2 sont des noeuds centraux car ayant 3 voisins et sont connectés à des sommets eux-même très connectés.

Le noeud f est le moins central car ne bénéficiant que de 2 voisins.

Vecteur propre/ PageRank

1) Matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle

L'ordre des noeufs dans la matrice est: L1,1, b, c, d, L2, f

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}0&1/2&0&1/2&0&0\\0&0&1/2&0&1/2&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$M^{t}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1\\1/2&0&0&0&0&0\\0&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&0&0&0&0\\0&1/2&1&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

2) J'initialise le vecteur de matière :

$V={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

Je procéde au calcul d'une itération de la centralité de vecteur propre:

$M^{t}*V={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1\\1/2&0&0&0&0&0\\0&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&0&0&0&0\\0&1/2&1&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1/2\\1\\1/2\\3/2\\1/2\\\end{pmatrix}}$

La matière totale est bien de 6. Nous multiplions la matière dans chaque noeud par 0.9, puis nous partageons 0.1 de la matière totale entre l'ensemble des noeuds.

Ainsi, nous devons avoir

$M^{t}V*0.9+0.1$=${\begin{pmatrix}2\\1/2\\1\\1/2\\3/2\\1/2\\\end{pmatrix}}*0.9+{\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}1.9\\0.55\\1\\0.55\\1.45\\0.55\\\end{pmatrix}}$

Ici aussi la matière totale est bien de 6.

Graphe de blocs

1)

$H1={\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}}$

$H2={\begin{pmatrix}2&2\\3&2\end{pmatrix}}$

Si nous faisons abstraction des liens d'un bloc dirigé vers lui même, nous avons alors:

$H1={\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}}$

$H2={\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}}$