Utilisateur:Sharayanan/tmp

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Chapitre 2[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : formes et applications linéaires[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Dans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace .

Partie 1[modifier | modifier le wikicode]
  1. Trouver le vecteur traduisant par son produit scalaire l’application qui à un vecteur de l'espace associe sa coordonnée selon l'axe x.
  2. Faire de même avec les applications qui à un vecteur associent leur coordonnée suivant y et z.
  3. Représenter le tenseur identité, expliquer le lien avec les deux questions précédentes.
Partie 2[modifier | modifier le wikicode]
  1. Soit le vecteur v de coordonnées (1, 0, -2). Montrer que l’application ƒ(u) = v × u est linéaire.
  2. Trouver le tenseur F qui représente l’application ƒ.
  3. Quelles sont les propriétés de F ?
  4. Représenter F dans la base suivante :

Correction[modifier | modifier le wikicode]

Partie 1[modifier | modifier le wikicode]

1. Il s'agit du vecteur unitaire . On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en x de ce dernier.

2. De même, il s'agit respectivement de et de .

3. Le tenseur identité, dans la base orthonormée, a la forme suivante :

Puisqu'on a par ailleurs la relation de fermeture :
on peut interpréter ce tenseur comme l’application qui associe à tout vecteur un vecteur dont les coordonnées sont identiques :
Partie 2[modifier | modifier le wikicode]

1. Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire λ. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :

Ce qui montre que l’application ƒ est linéaire.

2. Les coordonnées de F sont :

On peut déjà remarquer, par les propriétés du produit vectoriel, que , c'est-à-dire que F est anti-symétrique. Aussi, nous pourrons nous contenter de ne calculer que ses trois composantes indépendantes, les autres s'en déduisant :
Ainsi, dans cette base, F est représenté par la matrice suivante, que l’on note également F par abus de notations :

3. On a les propriétés suivantes :

  • F est anti-symétrique (a) ;
  • Sa trace est nulle (conséquence de (a)) ;
  • F(v) = 0 (b) ;
  • F est de rang 2 ;
  • Le déterminant de F est nul (conséquence de (b), puisque v ne l'est pas) ;
  • Le polynôme caractéristique de F est
  • F possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres complexes conjuguées () ;
  • Le noyau de F est la droite dirigée par v.

4. De même qu'en 2, on accède aux trois coordonnées de F dans cette nouvelle base

Ainsi, dans cette base, F est représentée de la manière suivante :
Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autres, diagonale par blocs) de la représentation de F dans cette base. En particulier, dans cette base, est diagonale.

Exercice : rotation du repère[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Soit T un tenseur. Soit une base B0.

On considère la base B1, rotation de B0. On représente la rotation associée par un tenseur orthogonal Ω.

  1. Rappeler la définition d'un tenseur orthogonal.
  2. Exprimer les vecteurs vi de B1 à partir des vecteurs bi de B0.
  3. Exprimer la matrice T1 qui représente T dans B1 à partir de la matrice T0 qui le représente dans B0.

Correction[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dans la première base, pour tout vecteur b0,
Dans la seconde base, on a :
Donc, d’après 2, on a :
C'est encore à dire :
Et enfin, en utilisant 2 et 1 pour inverser 2 :
Ceci étant vrai pour tout vecteur b0, il s'ensuit l'égalité suivante :

Exercice : produit tensoriel[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : décompositions d'un tenseur[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 3[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : éléments mésoscopiques[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : tenseur infinitésimal[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : cisaillement infinitésimal[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 4[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : déformations simples[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Partie 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un solide occupant le cube dans la configuration de référence. On lui impose une configuration :

par un moyen dont on ne se préoccupe pas.

  1. Représenter la configuration actuelle ;
  2. Calculer le tenseur E de Green-Lagrange ;
  3. Calculer la variation de volume ;
  4. Calculer l'élongation selon les directions e1 et e2
  5. Calculer l'élongation selon les directions et .
  6. Trouver les directions principales de déformation et les élongations associées.
  7. Faire l’application numérique pour

Exercice : déformations simples - *[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 5[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : contraintes dans une poutre[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : plan de Mohr[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : essai brésilien[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : torsion d'un cylindre[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 6[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : changement de référentiel[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 7[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : tassement du sol[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : compressibilité d'un matériau poreux[modifier | modifier le wikicode]

Chapitre 8[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : plaque percée[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : plaque entaillée[modifier | modifier le wikicode]

Exercice : éclatement d'un ballon de football[modifier | modifier le wikicode]