Utilisateur:Sharayanan/Exos

Intégrales généralisées, convergence dominée

Soit $\left(a,\,b\right)\in \left]-1;\;+\infty \right[\times \left]0;\;+\infty \right[$. On définit, pour tout entier strictement positif n :

$I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{a}e^{-nx}}{\sqrt {1+x^{b}}}}\,\mathrm {d} x$

$J_{n}=\int _{0}^{+\infty }x^{a}e^{-nx}\,\mathrm {d} x$

• Justifier que ces intégrales convergent.
• Quelle est la limite de $(J_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ?
• Quelle est la limite de $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ?
• Exprimer, pour tout n > 0, J_n en fonction de la fonction gamma d'Euler.
• Donner un équivalent de I_n en $\scriptstyle +\infty$.

Indication : on pourra montrer l'encadrement suivant :

$0<J_{n}-I_{n}\leq {\frac {\Gamma \left(a+b+1\right)}{2n^{a+b+1}}}$

Séries entières

On pose :

$f:x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}$

• Donner le développement en série entière de ƒ.
• En déduire le développement en série entière de Arcsin.
• Étudier la convergence aux bornes. Commenter.

Intégrales généralisées

Montrer que l'intégrale impropre suivante est convergente :

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$.

Analyse

Soit ƒ une fonction continue de la variable réelle, à valeurs réelles. On suppose que ƒ est de classe C¹ et que :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\qquad \left|f'(x)\right|\leq \left|f(x)\right|$

Montrer qu'alors on a :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\qquad \left|f(x)\right|\leq \left|f(0)\right|e^{\left|x\right|}$

Une jolie égalité

Calculer la quantité suivante :

$6\cdot \int _{\mathbb {R} }{\frac {\mathrm {d} t}{\cosh ^{2}t}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }\left(\int _{\mathbb {R} }n{\frac {\mathrm {d} u}{\cosh u}}\right)^{-2}$

Intégrale de Fresnel

Convergence et somme de l'intégrale de Fresnel :

$\int _{0}^{+\infty }e^{it^{2}}\,\mathrm {d} t$

Intégrale de Dawson

Convergence, intervalle de définition, dérivabilité et parité de la fonction :

$D:x\mapsto e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t$

Donner un équivalent de D en 0. Cette fonction est-elle bornée ? Trouver une équation différentielle du premier ordre vérifiée par D.

Système autonome

Soit a et ε deux réels strictement positifs. Soit x et y deux fonctions de la variable réelle t de classe C¹, solutions de :

${\begin{cases}{\dot {x}}=ay-\varepsilon x\left(x^{2}+y^{2}\right)\\{\dot {y}}=-x-\varepsilon y\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{cases}}$

Démontrer l’existence de la limite suivante et la calculer :

$\lim _{t\to +\infty }\left[x(t),y(t)\right]$

Aire d'une courbe intégrale

Montrer que les courbes intégrales de l'équation différentielle suivante sont fermées et calculer leur aire :

$yy'+{\frac {2x^{3}}{y^{2}+3x^{2}}}=0$

Un peu d'analyse et de logique

On définit les suites suivantes :

• (u_n) définie par, pour tout naturel n,

$u_{n}=(-1)^{n}$ ;

• (v_n) définie par, pour tout naturel n,

$v_{n}=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$ ;

• (w_n) définie par, pour tout naturel n,

$w_{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}v_{k}$ ;

Répondez aux questions suivantes :

Question 1 — La première de ces suites admet-elle une limite ? La seconde ? Comment appelle-t-on la troisième ?

Leonhard Euler a utilisé la démarche suivante (un peu adaptée) :

« Notons S la limite de v_n, c'est-à-dire :

$S=1-1+1-1+\ldots$

On a dans ce cas :

$S-1=-1+1-1+\ldots$

Or -1+1-1+… = - S si bien que :

$S-1=-S$

D'où on déduit S = ½. »

Question 2 — Ce raisonnement vous semble-t-il valable ?

Question 3 — Rappeler et démontrer le théorème de Cesàro.

Question 4 — Montrer que, pour tout naturel n :

${\begin{cases}w_{2n}={\frac {n+1}{2n+1}}\\w_{2n+1}={\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Question 5 — Qu'en déduisez vous sur l’existence et la valeur de la limite de (v_n) ?

On pose :

$f:x\mapsto \sum _{k=0}^{+\infty }x^{k}$

Question 6 — Donnez l'intervalle de définition de ƒ et exprimez ƒ(x). Calculez $\lim _{x\to -1}f(x)$.

Question 7 — Qu'en déduisez vous sur l’existence et la valeur de la limite de (v_n) ?

Question 8 — Peut-on montrer que $\sum _{k=0}^{+\infty }k^{2}=-{\sqrt {\pi }}$ ?

Niveau sup

Soit f et g deux fonctions non identiquement nulles sur $\mathbb {R}$. On suppose qu’il existe x tel que f(x) = 0. À quelle(s) condition(s) sur g la famille (f, g) est-elle libre ?

Un peu de chimie

On fait réagir un équivalent de chlorure d'éthanoyle avec deux équivalents d'aniline dans l'eau froide. On filtre le solide (A) obtenu, on le sèche, puis on le fait réagir avec un équivalent de chlorure d'éthanoyle en présence de chlorure d'aluminium anhydre dans le tétrahydrofurane. Enfin, on fait réagir les produits obtenu avec du zinc amalgamé au mercure en présence d'acide chlorhydrique.

• Qu'obtient-on majoritairement ?
• Justifier les réactions : stœchiométrie, solvants & mécanismes.
• Quel est le nom du solide (A) ? De la dernière réaction ? Pourquoi a-t-on amalgamé le zinc ?
• Existe-t-il une réaction qui aurait les mêmes effets que la dernière étape ? Pourquoi ne l'utilise-t-on pas ?

Équa diff

Résoudre $y'y=1$.

Diagonalisation

Soit M une matrice carrée complexe, telle que M² est diagonalisable. M est-elle diagonalisable ?

Commutant

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie n, ayant n valeurs propres distinctes. On note C(u) le commutant de u. Montrer que C(u) = Vect(1, u, u², ..., u^n-1).

Un peu de mécanique du point

Soit deux astres 1 et 2, de masses respectives M et m telles que M » m. On les suppose soumis uniquement à l'attraction gravitationnelle de l'un sur l'autre. L'astre 2 est situé à l'instant initial à l'infini et muni d'une vitesse v₀. On note b le paramètre d'impact, p la quantité de mouvement de 2, l son moment cinétique par rapport au centre de 1.

1. Quelle est la trajectoire de l'astre 2 ? 2. Montrer que le vecteur de Laplace-Runge-Lenz (R = p × l + mKr/r) est une constante du mouvement, en précisant la valeur de K. 3. Exprimer l'angle de déviation Φ_D en fonction des données du problème.

Pendule & formule de Borda

On rappelle qu'un pendule simple (masse m, longueur l) obéit à l'équation angulaire :

${\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\sin \left(\theta \right)=0$

1. Rappeler le développement en séries entière de la fonction sinus, rayon de convergence etc.
2. Résoudre l'équation du pendule à l’ordre 1 en θ ( dont la solution est l' « oscillateur harmonique » classique ), exprimer la période du mouvement.
3. Exprimer une condition sur les conditions initiales pour que le pendule ait un mouvement périodique.
4. Dans ce cadre, donner la forme générale de la solution à l'équation du mouvement à l’ordre 3.
5. On note ε l'amplitude du terme anharmonique, que l’on suppose très petit devant celle du terme harmonique. Écrire l'équation du mouvement à l’ordre 3, exprimer la période du mouvement.
6. Évaluer l'écart entre les périodes pour un pendule lâché sans vitesse initiale, selon la formule à l’ordre 1 et selon la formule à l’ordre 3. On prendra par exemple 10°, 20°, 40°, 80° et 150°.

Pendule harmonique

Le mouvement d'un pendule « traditionnel » n’est pas rigoureusement harmonique, ni isochrone. On cherche à trouver une courbe Γ, continue & dérivable, telle qu'un point matériel soumis à la gravité et glissant sur Γ ait un mouvement parfaitement harmonique.

On note s l'abscisse curviligne le long de Γ. On néglige tout frottement. Le mouvement étant parfaitement harmonique, on a :

$s(t)=s_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\varphi \right)$

Répondrez aux questions suivantes :

1. Établir la forme de l'énergie potentielle, donner ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}$.
2. Exprimer x(s) et y(s) ;
3. Tracer Γ : de quelle courbe classique s'agit-il ?