Utilisateur:Sharayanan/Exos

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Intégrales généralisées, convergence dominée[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On définit, pour tout entier strictement positif n :

  • Justifier que ces intégrales convergent.
  • Quelle est la limite de  ?
  • Quelle est la limite de  ?
  • Exprimer, pour tout n > 0, Jn en fonction de la fonction gamma d'Euler.
  • Donner un équivalent de In en .

Indication : on pourra montrer l'encadrement suivant :

Séries entières[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

  • Donner le développement en série entière de ƒ.
  • En déduire le développement en série entière de Arcsin.
  • Étudier la convergence aux bornes. Commenter.

Intégrales généralisées[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que l'intégrale impropre suivante est convergente :

.

Analyse[modifier | modifier le wikicode]

Soit ƒ une fonction continue de la variable réelle, à valeurs réelles. On suppose que ƒ est de classe C1 et que :

Montrer qu'alors on a :

Une jolie égalité[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la quantité suivante :

Intégrale de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Convergence et somme de l'intégrale de Fresnel :

Intégrale de Dawson[modifier | modifier le wikicode]

Convergence, intervalle de définition, dérivabilité et parité de la fonction :

Donner un équivalent de D en 0. Cette fonction est-elle bornée ? Trouver une équation différentielle du premier ordre vérifiée par D.

Système autonome[modifier | modifier le wikicode]

Soit a et ε deux réels strictement positifs. Soit x et y deux fonctions de la variable réelle t de classe C1, solutions de :

Démontrer l’existence de la limite suivante et la calculer :

Aire d'une courbe intégrale[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les courbes intégrales de l'équation différentielle suivante sont fermées et calculer leur aire :

Un peu d'analyse et de logique[modifier | modifier le wikicode]

On définit les suites suivantes :

  • (un) définie par, pour tout naturel n,
 ;
  • (vn) définie par, pour tout naturel n,
 ;
  • (wn) définie par, pour tout naturel n,
 ;

Répondez aux questions suivantes :

Question 1 — La première de ces suites admet-elle une limite ? La seconde ? Comment appelle-t-on la troisième ?

Leonhard Euler a utilisé la démarche suivante (un peu adaptée) :

« Notons S la limite de vn, c'est-à-dire :
On a dans ce cas :
Or -1+1-1+… = - S si bien que :
D'où on déduit S = ½. »

Question 2 — Ce raisonnement vous semble-t-il valable ?

Question 3 — Rappeler et démontrer le théorème de Cesàro.

Question 4 — Montrer que, pour tout naturel n :

Question 5 — Qu'en déduisez vous sur l’existence et la valeur de la limite de (vn) ?

On pose :

Question 6 — Donnez l'intervalle de définition de ƒ et exprimez ƒ(x). Calculez .

Question 7 — Qu'en déduisez vous sur l’existence et la valeur de la limite de (vn) ?

Question 8 — Peut-on montrer que  ?

Niveau sup[modifier | modifier le wikicode]

Soit f et g deux fonctions non identiquement nulles sur . On suppose qu’il existe x tel que f(x) = 0. À quelle(s) condition(s) sur g la famille (f, g) est-elle libre ?

Un peu de chimie[modifier | modifier le wikicode]

On fait réagir un équivalent de chlorure d'éthanoyle avec deux équivalents d'aniline dans l'eau froide. On filtre le solide (A) obtenu, on le sèche, puis on le fait réagir avec un équivalent de chlorure d'éthanoyle en présence de chlorure d'aluminium anhydre dans le tétrahydrofurane. Enfin, on fait réagir les produits obtenu avec du zinc amalgamé au mercure en présence d'acide chlorhydrique.

  • Qu'obtient-on majoritairement ?
  • Justifier les réactions : stœchiométrie, solvants & mécanismes.
  • Quel est le nom du solide (A) ? De la dernière réaction ? Pourquoi a-t-on amalgamé le zinc ?
  • Existe-t-il une réaction qui aurait les mêmes effets que la dernière étape ? Pourquoi ne l'utilise-t-on pas ?

Équa diff[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre .

Diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

Soit M une matrice carrée complexe, telle que M² est diagonalisable. M est-elle diagonalisable ?

Commutant[modifier | modifier le wikicode]

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie n, ayant n valeurs propres distinctes. On note C(u) le commutant de u. Montrer que C(u) = Vect(1, u, u², ..., un-1).

Un peu de mécanique du point[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux astres 1 et 2, de masses respectives M et m telles que M » m. On les suppose soumis uniquement à l'attraction gravitationnelle de l'un sur l'autre. L'astre 2 est situé à l'instant initial à l'infini et muni d'une vitesse v0. On note b le paramètre d'impact, p la quantité de mouvement de 2, l son moment cinétique par rapport au centre de 1.

1. Quelle est la trajectoire de l'astre 2 ? 2. Montrer que le vecteur de Laplace-Runge-Lenz (R = p × l + mKr/r) est une constante du mouvement, en précisant la valeur de K. 3. Exprimer l'angle de déviation ΦD en fonction des données du problème.

Pendule & formule de Borda[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle qu'un pendule simple (masse m, longueur l) obéit à l'équation angulaire :

  1. Rappeler le développement en séries entière de la fonction sinus, rayon de convergence etc.
  2. Résoudre l'équation du pendule à l’ordre 1 en θ ( dont la solution est l' « oscillateur harmonique » classique ), exprimer la période du mouvement.
  3. Exprimer une condition sur les conditions initiales pour que le pendule ait un mouvement périodique.
  4. Dans ce cadre, donner la forme générale de la solution à l'équation du mouvement à l’ordre 3.
  5. On note ε l'amplitude du terme anharmonique, que l’on suppose très petit devant celle du terme harmonique. Écrire l'équation du mouvement à l’ordre 3, exprimer la période du mouvement.
  6. Évaluer l'écart entre les périodes pour un pendule lâché sans vitesse initiale, selon la formule à l’ordre 1 et selon la formule à l’ordre 3. On prendra par exemple 10°, 20°, 40°, 80° et 150°.

Pendule harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Le mouvement d'un pendule « traditionnel » n’est pas rigoureusement harmonique, ni isochrone. On cherche à trouver une courbe Γ, continue & dérivable, telle qu'un point matériel soumis à la gravité et glissant sur Γ ait un mouvement parfaitement harmonique.

On note s l'abscisse curviligne le long de Γ. On néglige tout frottement. Le mouvement étant parfaitement harmonique, on a :

Répondrez aux questions suivantes :

  1. Établir la forme de l'énergie potentielle, donner .
  2. Exprimer x(s) et y(s) ;
  3. Tracer Γ : de quelle courbe classique s'agit-il ?