Utilisateur:Sharayanan/Electromag

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Passage à l'espace des phases

On note E et B les champs électrique et magnétique, respectivement. Ces champs sont liés par les quatre équations de Maxwell. En l'absence de charges, elles s'écrivent :

• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$
• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
• $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-{\partial }_t𝐁$
• $\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{1}{c^2}{\partial }_t𝐄$

On peut développer ces champs dans l'espace des phases, via la transformée de Fourier, si bien que :

• $𝐄(𝐫,t)=\int ℰ(𝐤,t)e^{i𝐤\cdot 𝐫}{\mathrm{d}}^3𝐫$
• $𝐁(𝐫,t)=\int ℬ(𝐤,t)e^{i𝐤\cdot 𝐫}{\mathrm{d}}^3𝐫$

Dans cet espace, l'opérateur nabla peut être réduit à l'opérateur k, de sorte qu'on peut réécrire les équations de Maxwell :

• $𝐤\cdot ℰ=0$
• $𝐤\cdot ℬ=0$
• $𝐤\times ℰ=-i\dot{ℬ}$
• $𝐤\times ℬ=-\frac{i}{c^2}\dot{ℰ}$

En posant ω = ck, on peut réécrire en manipulant les produits vectoriels cette dernière équation sous la forme :

$ℬ(𝐤,t)=i\frac{𝐤}{{\omega }^2}\times \dot{ℰ}(𝐤,t)$

Rapportant cette expression dans la troisième des équations de Maxwell dans l'espace des phases, on obtient :

$\ddot{ℰ}+{\omega }^2ℰ=0$

En particulier, pour deux k différents, l'évolution des champs est indépendante. On peut réécrire cette relation :

$(\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}+{\omega }^2)ℰ=0$

Développement en OPP

On pose la relation :

$2N(𝐤)𝜶(𝐤,t)=ℰ(𝐤,t)+\frac{i}{\omega }\dot{ℰ}(𝐤,t)$

Avec N une fonction paire. Alors :

$2N(𝐤)𝜶(-𝐤,t)=ℰ(-𝐤,t)+\frac{i}{\omega }\dot{ℰ}(-𝐤,t)$

Les champs électriques et magnétiques étant réels, cela impose des conditions sur le conjugué de leur transformée de Fourier. On a ainsi :

$2N(𝐤){𝜶}^{\ast }(-𝐤,t)=ℰ(𝐤,t)-\frac{i}{\omega }\dot{ℰ}(𝐤,t)$

La fonction α suffit ainsi à connaitre E et sa dérivée, puisque l’on a :

$ℰ(𝐤,t)=N(k)[\alpha (𝐤,t)+{\alpha }^{\ast }(-𝐤,t)]$

$\dot{ℰ}(𝐤,t)=-i\omega N(k)[\alpha (𝐤,t)-{\alpha }^{\ast }(-𝐤,t)]$

Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l’expression de tout à l’heure :

$(\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}+{\omega }^2)ℰ=0$

En utilisant :

$(\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}+{\omega }^2)=(\frac{\partial }{\partial t}+i\omega )\cdot (\frac{\partial }{\partial t}-i\omega )$

et sachant que la définition de α impose qu'elle est proportionnelle à

$(\frac{\partial }{\partial t}-i\omega )ℰ$

on peut réécrire l'équation terminant la section précédente sous la forme :

$(\frac{\partial }{\partial t}+i\omega )\alpha (𝐤,t)=0$

Cela, après multiplication par $\hslash$, donne enfin :

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\alpha (𝐤,t)=\hslash \omega \alpha (𝐤,t)$

Ce qui peut s'interpréter comme une équation de Schrödinger.