Utilisateur:SendyCasella/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité E

Sendy Casella L1= D; L2= A

Le lien sortant du noeud L1 (noeud D) que j'ai enlevé est le lien vers le noeud F.

J'ai rajouté un lien depuis le noeud B vers le noeud L2 (noeud) A .

Les trois composantes fortement connexes: {a, b, c, d}, {a, b, e}, et {g, h}

La matrice initiale A, La matrice distribuée M, et La matrice transposée

$A={\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$ $M={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{2}}\\0&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$ $M^{T}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&1&1&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{3}}&0&1&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&0&1\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$

La centralité du vecteur propre s'obtient grâce à la multiplication de MT par la densité de matière de chaque nœud:

$M^{T}V_{o}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&1&1&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{3}}&0&1&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&0&1\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {7}{24}}\\{\tfrac {1}{24}}\\{\tfrac {5}{24}}\\{\tfrac {1}{24}}\\{\tfrac {1}{24}}\\0\\{\tfrac {3}{16}}\\{\tfrac {3}{16}}\\\end{pmatrix}}$

Ensuite, nous multiplions chaque noeud par 9/10, puis j'y ajoute le partage égal entre les nœuds 1/10 de la matière, qui donne:

$V_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{24}}\\{\frac {1}{24}}\\{\frac {5}{24}}\\{\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{24}}\\0\\{\frac {3}{16}}\\{\frac {3}{16}}\\\end{pmatrix}}*{\frac {9}{10}}+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\\end{pmatrix}}*{\frac {1}{10}}={\begin{pmatrix}{\frac {11}{40}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {29}{160}}\\{\frac {29}{160}}\\\end{pmatrix}}$

Vérification que le total de la matière = 1 (reste constante).

${\frac {11}{40}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{80}}+{\frac {29}{160}}+{\frac {29}{160}}=1$

Pour le seconde itération :

$M^{T}V_{1}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&1&1&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{3}}&0&1&0&0&0&0\\{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0&0\\0&{\tfrac {1}{3}}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&0&1\\0&0&{\tfrac {1}{2}}&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {11}{40}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {29}{160}}\\{\frac {29}{160}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {19}{240}}\\{\frac {11}{120}}\\{\frac {19}{120}}\\{\frac {11}{120}}\\{\frac {1}{60}}\\0\\{\frac {9}{32}}\\{\frac {9}{32}}\\\end{pmatrix}}$

$V_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {19}{240}}\\{\frac {11}{120}}\\{\frac {19}{120}}\\{\frac {11}{120}}\\{\frac {1}{60}}\\0\\{\frac {9}{32}}\\{\frac {9}{32}}\\\end{pmatrix}}*{\frac {9}{10}}+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\\end{pmatrix}}*{\frac {1}{10}}={\begin{pmatrix}{\frac {67}{800}}\\{\frac {19}{200}}\\{\frac {31}{200}}\\{\frac {19}{200}}\\{\frac {11}{400}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {17}{64}}\\{\frac {17}{64}}\\\end{pmatrix}}$

Vérification que le total de la matière = 1 (reste constante).

${\frac {67}{800}}+{\frac {19}{200}}+{\frac {31}{200}}+{\frac {19}{200}}+{\frac {11}{400}}+{\frac {1}{80}}+{\frac {17}{64}}+{\frac {17}{64}}=1$