Utilisateur:RM77/Recopiage/DTL16

On considère ici les espaces euclidiens orientés $E=\mathbb {R} ^{2}$ ou $F=\mathbb {R} ^{3}$ munis de leur produit scalaire canonique, et sont rapportés à leur base canonique qui est orthonormale directe, que l’on pourra noter (i,j) ou (i,j, k) respectivement. On utilisera aussi la norme euclidienne $||.||$ et la distance euclidienne d associées au produit scalaire $\bullet$.

Exercice 1

1. Soit $a>0$, et ${\mathcal {D}}$ la courbe ("tractrice") de E définie par $\forall t\in \mathbb {R} ,x(t)=a(t-th(t))\,,y(t)={\frac {a}{ch(t)}}$. Construire ${\mathcal {D}}$, et déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points de E qui sont les centres de courbure des points biréguliers de ${\mathcal {D}}$.
2. Pour $M\in {\mathcal {D}}$, on note H le point d'intersection de la tangente à ${\mathcal {D}}$ en M avec l'axe Ox. Montrer que la longueur de MH (c'est-à-dire du segment [M,H]) est constante.
3. Réciproquement, déterminer toutes les fonctions $\alpha \in C^{1}(\mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {R} )$ telles que la courbe ${\mathcal {C}}$ paramétrée par $f:t\mapsto \left(\alpha (t),{\frac {a}{ch(t)}}\right)$ soit telle que si l’on note $M=f(t)$ pour $t>0$ et H le point d'intersection de la tangente à ${\mathcal {C}}$ en M avec l'axe Ox, la longueur de MH soit constante et égale à a.
4. Soit $G:(t,z)\mapsto \left(t-th(t)+{\frac {z}{ch(t)}},{\frac {1}{ch(t)}}+z\,ch(t),z\right)$, et la surface de F $S=G(\mathbb {R} ^{2})$. Montrer que seuls les points de la forme $M=G(0,z)$ sont non réguliers sur S. Déterminer le plan $\Pi$ tangent à S en $A=G(ln(2),0)$ et calculer la distance euclidienne de $O=(0,0,0)$ à $\Pi$.

Exercice 2

1. Soit S la surface de F d'équation $z={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})$. Préciser la nature de S. Est-ce une surface de révolution ? Que peut-on dire de l'intersection $C_{\lambda }$ de S avec le plan d'équation $z=\lambda$ selon la valeur du réel $\lambda$.
2. Déterminer les plans tangents à S qui sont horizontaux, et préciser la position (locale ou globale) de S par rapport à un tel plan.
3. Soit $\Gamma =\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/x^{2}+y^{2}-2z=0,x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x=0\}$. Déterminer la tangente à $\Gamma$ en $O=(0,0,0)$.
4. Déterminer toutes les courbes ${\mathcal {C}}$ paramétrées par $f:t\mapsto (t,y(t),z(t))$ de classe $C^{1}$ et régulières sur $I=\mathbb {R} _{+}^{*}$, qui sont tracées sur S et passent par $A=(1,1,1)$, et telles que les tangentes en un éventuel point d'intersection entre ${\mathcal {C}}$ et une courbe $C_{\lambda }$ soient orthogonales.

Exercice 3

Dans E, pour tout réel $\theta$, on pose : $u_{\theta }=(cos(\theta ),sin(\theta ))$ et $v_{\theta }=u_{\theta }^{'}=(-sin(\theta ),cos(\theta ))$. Soit $\Gamma$ paramétrée par $f(\theta )=(1+cos(\theta ))u_{\theta }$, pour $\theta \in \mathbb {R}$, c'est-à-dire d'équation polaire $\rho =1+cos(\theta )$.

1. Construire $\Gamma$, et préciser un vecteur unitaire $T_{\theta }$, dirigeant la tangente en tout point $M=f(\theta )$ de $\Gamma$, ainsi que la mesure $\alpha _{\theta }$, de l'angle polaire entre i et $T_{\theta }$.
2. Préciser les points biréguliers de $\Gamma$, et déterminer la courbure en un tel point.
3. Soit $\Delta _{\phi }$, la droite passant par $O=(0,0)$ et dirigée par $u_{\phi }$ avec $\phi \in [0,\pi [$. Montrer qu’il existe trois points de $\Gamma$ en lesquels la tangente est parallèle à $\Delta _{\phi }$.
4. Déterminer la longueur de $\Gamma$ ainsi que l'aire du domaine D intérieur à $\Gamma$.
5. Montrer que si $M=(x,y)$ est sur $\Gamma$, on peut trouver un polynôme P tel que $P(x,y)=0$. Retrouver ainsi la tangente à $\Gamma$ en $A=f(0)$; peut-on procéder de même en $B=f\left({\frac {\pi }{2}}\right)$ ?
6. Soit $\Phi =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}/(x^{2}+y^{2}-x)^{2}-x^{2}-y^{2}=0\}$. Montrer que $\Gamma$ est une partie de $\Phi$. $\Phi$ et $\Gamma$ sont-elles égales ? Quels sont les points de $\Phi$ à la distance 1 ou 2 de l'origine $O=(0,0)$ ?
7. Soit $G=\{u\in O(\mathbb {R} ^{3})/u(\Phi )=\Phi \}$. Montrer qu’il s'agit d'un groupe pour la loi de composition $\circ$. Montrer qu’il est fini et le déterminer.

Exercice 4

Dans F, on considère les quatre points : $A=(1,1,-1)\,,B=(0,0,-1)\,,C=(0,0,1)\,,D=(1,-1,1)$.

1. Déterminer l'isobarycentre G de ces quatre points. Calculer la distance de G à la droite (BC) et au plan $\Pi$ passant par les points A, B, C. Déterminer le projeté orthogonal de G sur ce plan $\Pi$.
2. Déterminer l'aire du triangle de sommets A, B, C et le volume du tétraèdre de sommets A, B, C, D (on rappelle que l’on peut les obtenir grâce à un produit vectoriel ou un produit mixte).
3. Déterminer le rayon du cercle circonscrit au triangle de sommets A, B, C, et le rayon de la sphère circonscrite du tétraèdre de sommets A, B, C, D.
4. Quel est le lieu des points de F équidistants des trois points A, B, C, et le lieu des points de F équidistants des quatre points A, B, C, D ?
5. Déterminer la droite $\Delta$ perpendiculaire commune aux droites $\delta =(BA)$ et $\delta ^{'}=(CD)$.
6. Déterminer une équation cartésienne de la surface $S_{1}$ formée des points équidistants des deux droites $\delta =(BA)$ et $\delta ^{'}=(CD)$, et préciser la nature de $S_{1}$.
7. Déterminer une équation cartésienne de la surface $S_{2}$ obtenue en faisant tourner la droite (AC) autour de la droite (BD), et préciser la nature de $S_{2}$.