Bases de la cinématique / statique

Cinématique du point

Dérivation de vecteur :
${\frac {d}{dt}}[{\overrightarrow {U}}]_{R}={\frac {d}{dt}}[{\overrightarrow {U}}]_{R_{1}}+{\overrightarrow {\Omega }}(R_{1}/R)\wedge {\overrightarrow {U}}$

Cinématique du solide

Changement de point dans les vecteurs vitesses :
${\overrightarrow {V}}(B,S/R)={\overrightarrow {V}}(A,S/R)+{\overrightarrow {\Omega }}(S/R)\wedge {\overrightarrow {AB}}$

Expression générale d'un torseur cinématique :
$\{V(S/R)\}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\Omega }}(S/R)\\{\overrightarrow {V}}(A,S/R)\end{Bmatrix}}_{A}$

- ${\overrightarrow {\Omega }}(S/R)$ est la résultante du torseur, indépendante du point choisi pour écrire les éléments de réduction.
- ${\overrightarrow {V}}(A,S/R)$ est le moment du torseur au point A.

Changement de solide dans les vecteurs vitesses :
${\overrightarrow {V}}(P/R_{1})={\overrightarrow {V}}(P/R_{2})+{\overrightarrow {V}}(P,R_{2}/R_{1})$

Composition des vecteurs rotations :
${\overrightarrow {\Omega }}(S/R_{1})={\overrightarrow {\Omega }}(S/R_{2})+{\overrightarrow {\Omega }}(R_{2}/R_{1})$

Composition des torseurs cinématiques :
$\{V(S/R_{1})\}=\{V(S/R_{2})\}+\{V(R_{2}/R_{1})\}$
Pour sommer des torseurs, les vecteurs vitesses doivent être exprimés au même point.

Roulement sans glissement :
On a roulement sans glissement en A entre S1 et S2 si ${\overrightarrow {V}}(A,S1/S2)=0$ .

Statique des solides

...

Tableau fondamental des liaisons normalisées

Hypothèse fondamentale : les liaisons cinématiques sont supposées parfaites.

Notations :
$\{V(2/1)\}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\Omega }}(2/1)\\{\overrightarrow {V}}(P,2/1)\end{Bmatrix}}_{P}$ $={\begin{Bmatrix}\omega _{x21}&&V_{x21}\\\omega _{y21}&&V_{y21}\\\omega _{z21}&&V_{z21}\end{Bmatrix}}_{P,({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}$ pour un torseur cinématique
$...$ pour un torseur d'actions mécaniques

Format des formules : Torseur cinématique // Torseur statique // Validité des expressions

Liaison encastrement (ou liaison complète) :
${\begin{Bmatrix}0&&0\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}X&&L\\Y&&M\\Z&&N\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P$

Liaison pivot d'axe $(0,{\vec {x}})$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&0\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}X&&0\\Y&&M\\Z&&N\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P\in (0,{\vec {x}})$

Liaison glissière de direction ${\vec {x}}$ :
${\begin{Bmatrix}0&&V_{x}\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}0&&L\\Y&&M\\Z&&N\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P$

Liaison hélicoïdale d'axe $(0,{\vec {x}})$ , de pas $p$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&{\frac {p}{2\pi }}\omega _{x}\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}X&&-{\frac {p}{2\pi }}X\\Y&&M\\Z&&N\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P\in (0,{\vec {x}})$

Liaison pivot glissant d'axe $(0,{\vec {x}})$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&V_{x}\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}0&&0\\Y&&M\\Z&&N\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P\in (0,{\vec {x}})$

Liaison appui plan (ou plane) de normale ${\vec {z}}$ :
${\begin{Bmatrix}0&&V_{x}\\0&&V_{y}\\\omega _{z}&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}0&&L\\0&&M\\Z&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P$

Liaison rotule (ou sphérique) de centre O :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&0\\\omega _{y}&&0\\\omega _{z}&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~{\begin{Bmatrix}X&&0\\Y&&0\\Z&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~O$

Liaison rotule à doigt de centre O, de plan de rainure $(O,{\vec {y}},{\vec {z}})$ , de doigt $O{\vec {z}}$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&0\\0&&0\\\omega _{z}&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~{\begin{Bmatrix}X&&0\\Y&&M\\Z&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~O$ Vérifier l’expression du doigt : (Oy) ou (Oz) ?

Liaison linéaire rectiligne de droite de contact $0{\vec {x}}$ , de normale ${\vec {z}}$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&V_{x}\\0&&V_{y}\\\omega _{z}&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}0&&0\\0&&M\\Z&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P\in ({\vec {x}},0,{\vec {z}})$

Liaison linéaire annulaire (ou sphère-cylindre) de centre O et d'axe $(O,{\vec {x}})$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&V_{x}\\\omega _{y}&&0\\\omega _{z}&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~{\begin{Bmatrix}0&&0\\Y&&0\\Z&&0\end{Bmatrix}}_{O}//~O$

Liaison sphère-plan (ou ponctuelle) en O de normale ${\vec {x}}$ :
${\begin{Bmatrix}\omega _{x}&&0\\\omega _{y}&&V_{y}\\\omega _{z}&&V_{z}\end{Bmatrix}}_{P}//~{\begin{Bmatrix}X&&0\\0&&0\\0&&0\end{Bmatrix}}_{P}//~\forall P\in (O,{\vec {x}})$