Utilisateur:RM77/Cours de spé/Algèbre générale

Révisions indispensables de niveau 13

Ensemble, application

Exemple : f surjection de A sur B $f : A \mapsto B$ : $\forall b \in B \exists a \in A, f (a) = b$
f injection de A dans B : $\forall (x, y) \in A^{2}, f (x) = f (y) \Rightarrow x = y$

Image

$f (A) = {f (a) / a \in A} \subset B$
image réciproque $B^{'} \subset B$ : $f^{- 1} (B) = {a \in A / f (a) \in B^{'}}$

Arithmétique, dénombrement

Revoir $ℕ$ , $ℤ$ , ensembles finis, infinis et cardinal
Exemple : E ensemble fini à n éléments
$𝒫_{p} (E)$ est l’ensemble des parties de E à $p \leq n$ éléments
$C a r d (𝒫_{p} (E)) = (\binom{n}{p}) = C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}$
Exemple : Formule du triangle de Pascal $(\binom{n + 1}{p + 1}) = (\binom{n}{p + 1}) + (\binom{n}{+}) p$
Méthodes de démonstration :

formule du binôme de Newton $u, v \in A, u \times v = v \times u, n \in ℕ$

$(u + v)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) u^{k} v^{n_{k}}$
$(1 + X)^{n + 1} = (1 + X) (1 + X)^{n} = (1 + X) (\sum (\binom{n}{k}) x^{k}) ...$

dénombrement pur...

Structures algébriques

Revoir les groupes, anneaux, corps
Structures de référence :

Groupes : $(ℝ, +), (ℤ, +), (ℂ, +), (ℚ, +), (ℝ^{*}, \times), (ℤ / n ℤ, +), (𝔐_{n} (ℝ), +), (ℝ^{ℝ}, +), (𝕌_{n} = {z \in ℂ / z^{n} = 1}, \times), (𝒮_{n} = B i j ([[1, n]], [[1, n]]), \circ)$
Corps : Quaternions $ℍ$ , $ℤ / p ℤ$ si p premier, $𝕂 (X) = {\frac{P}{Q} / P, Q \in 𝕂 [X]^{2}, Q \neq 0}$

Polynômes, fractions rationnelles

$(𝕂 [X], +, \times, \cdot)$ K-algèbre (K corps commutatif)

bases...
division euclidienne $\forall (A, B) \in 𝕂 [X]^{2}, B \neq 0, \exists! (Q, R) \in 𝕂 [X]^{2} / A = B Q + R, d^{\circ} R < d^{\circ} B$
décomposition en éléments simples

Introduction : quelques exercices de révision

$ℍ = {(\begin{matrix} a & - \bar{b} \\ b & \bar{a} \end{matrix}), (a, b) \in ℂ^{2}}$ , montrer que $(ℍ, +, \times)$ corps non commutatif
$n \in ℕ^{*}, n \geq 2$ . Calculer $P_{n} = \prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n})$

...
$P_{n} = \frac{n}{2^{n - 1}}$

Solutions complètes à venir.

Compléments sur les groupes, Z/nZ

Propriétés générales

Morphismes de groupes

Définition Soient

(G, \times)

et

(H, +)

,

f : G \mapsto H

f morphisme de groupes si $\forall (g, g^{'}) \in G, f (g \times g^{'}) = f (g) + f (g^{'})$

Propriété Dans ce cas :

Si G' sous groupe de G, f(G') sous groupe de H
Si H' sous groupe de H, $f^{- 1} (H^{'})$ sous groupe de G

Démonstration du point 2

$f^{- 1} (H^{'}) \subset G$ par définition, non vide : $f (1_{G}) = 0_{H} \in H^{'} \Rightarrow 1_{G} \in f^{- 1} (H^{'})$
Soient $(a, b) \in f^{- 1} (H^{'}), f (a \times b^{- 1}) = \underset{\in H^{'}}{f (a)} - \underset{\in H^{'}}{f (b)} \in H^{'} \Rightarrow a \times b^{- 1} \in f - 1 (H^{'})$

En particulier

$I m f = f (G)$ SG de H
$K e r f = f^{- 1} ({O_{H}})$ SG de G

Remarque f injective si... ?

$f (x) = f (y) \Leftrightarrow f (x \times y^{- 1}) = 0$ ie f injective $\Leftrightarrow K e r f = {1_{G}}$

Exemples :

ln isomorphisme de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ sur $(ℝ, \times)$ ; $e x p = (l n)^{- 1}$
$σ : 𝒮_{n} \to {- 1, 1}; σ (f) = (- 1)^{N_{f}}$ avec $N_{f} = C a r d {(i, j) \in [[1, n]]^{2} / i < j, f (i) > f (j)}$ (nombre d'inversions)
$det : G L_{n} (ℂ) \to ℂ^{*}$