Utilisateur:RM77/Cours de spé/Algèbre générale

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Révisions indispensables de niveau 13[modifier | modifier le wikicode]

Ensemble, application[modifier | modifier le wikicode]

Exemple : f surjection de A sur B  :
f injection de A dans B :

Image[modifier | modifier le wikicode]


image réciproque  :

Arithmétique, dénombrement[modifier | modifier le wikicode]

Revoir , , ensembles finis, infinis et cardinal
Exemple : E ensemble fini à n éléments
est l’ensemble des parties de E à éléments

Exemple : Formule du triangle de Pascal
Méthodes de démonstration :

  • formule du binôme de Newton


  • dénombrement pur...

Structures algébriques[modifier | modifier le wikicode]

Revoir les groupes, anneaux, corps
Structures de référence :

  • Groupes :
  • Corps : Quaternions , si p premier,

Polynômes, fractions rationnelles[modifier | modifier le wikicode]

K-algèbre (K corps commutatif)

  • bases...
  • division euclidienne
  • décomposition en éléments simples

Introduction : quelques exercices de révision[modifier | modifier le wikicode]

  1. , montrer que corps non commutatif
  2. . Calculer
  1. ...

Solutions complètes à venir.

Compléments sur les groupes, Z/nZ[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés générales[modifier | modifier le wikicode]

Morphismes de groupes[modifier | modifier le wikicode]

Définition Soient et ,

f morphisme de groupes si

Propriété Dans ce cas :
  • Si G' sous groupe de G, f(G') sous groupe de H
  • Si H' sous groupe de H, sous groupe de G
Démonstration du point 2

par définition, non vide :
Soient

En particulier
  • SG de H
  • SG de G
Remarque f injective si... ?

ie f injective

Exemples :
  • ln isomorphisme de sur  ;
  • avec (nombre d'inversions)