Utilisateur:RM77/Cours de spé/Algèbre générale

Révisions indispensables de niveau 13

Ensemble, application

Exemple : f surjection de A sur B $f:A\mapsto B$ : $\forall b\in B\exists a\in A,\,f(a)=b$
f injection de A dans B : $\forall (x,y)\in A^{2},\,f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

Image

$f(A)=\{f(a)/a\in A\}\subset B$
image réciproque $B'\subset B$ : $f^{-1}(B)=\{a\in A/f(a)\in B'\}$

Arithmétique, dénombrement

Revoir $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , ensembles finis, infinis et cardinal
Exemple : E ensemble fini à n éléments
${\mathcal {P}}_{p}(E)$ est l’ensemble des parties de E à $p\leq n$ éléments
$Card({\mathcal {P}}_{p}(E))={\binom {n}{p}}=C_{n}^{p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}$
Exemple : Formule du triangle de Pascal ${\binom {n+1}{p+1}}={\binom {n}{p+1}}+{\binom {n}{+}}{p}$
Méthodes de démonstration :

formule du binôme de Newton $u,v\in A\,,u\times v=v\times u\,,n\in \mathbb {N}$

$(u+v)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}u^{k}v^{n_{k}}$
$(1+X)^{n+1}=(1+X)(1+X)^{n}=(1+X)\left(\sum {\binom {n}{k}}x^{k}\right)\,...$

dénombrement pur...

Structures algébriques

Revoir les groupes, anneaux, corps
Structures de référence :

Groupes : $(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ^{*},\times ),(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+),({\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+),(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },+),(\mathbb {U} _{n}=\{z\in \mathbb {C} /z^{n}=1\},\times ),({\mathcal {S}}_{n}=Bij([[1,n]],[[1,n]]),\circ )$
Corps : Quaternions $\mathbb {H}$ , $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ si p premier, $\mathbb {K} (X)=\{{\frac {P}{Q}}/P,Q\in \mathbb {K} [X]^{2},Q\neq 0\}$

Polynômes, fractions rationnelles

$(\mathbb {K} [X],+,\times ,\cdot )$ K-algèbre (K corps commutatif)

bases...
division euclidienne $\forall (A,B)\in \mathbb {K} [X]^{2},B\neq 0,\exists !(Q,R)\in \mathbb {K} [X]^{2}/A=BQ+R,d^{\circ }R<d^{\circ }B$
décomposition en éléments simples

Introduction : quelques exercices de révision

$\mathbb {H} =\left\{{\begin{pmatrix}a&-{\bar {b}}\\b&{\bar {a}}\end{pmatrix}},(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}\right\}$ , montrer que $(\mathbb {H} ,+,\times )$ corps non commutatif
$n\in \mathbb {N} ^{*},n\geq 2$ . Calculer $P_{n}=\prod _{k=1}^{n-1}\sin({\frac {k\pi }{n}})$

...
$P_{n}={\frac {n}{2^{n-1}}}$

Solutions complètes à venir.

Compléments sur les groupes, Z/nZ

Propriétés générales

Morphismes de groupes

Définition Soient

(G,\times )

et

(H,+)

,

f:G\mapsto H

f morphisme de groupes si $\forall (g,g')\in G,f(g\times g')=f(g)+f(g')$

Propriété Dans ce cas :

Si G' sous groupe de G, f(G') sous groupe de H
Si H' sous groupe de H, $f^{-1}(H')$ sous groupe de G

Démonstration du point 2

$f^{-1}(H')\subset G$ par définition, non vide : $f(1_{G})=0_{H}\in H'\Rightarrow 1_{G}\in f^{-1}(H')$
Soient $(a,b)\in f^{-1}(H'),\,f(a\times b^{-1})={\underset {\in H'}{f(a)}}-{\underset {\in H'}{f(b)}}\in H'\Rightarrow a\times b^{-1}\in f{-1}(H')$

En particulier

$Im\,f=f(G)$ SG de H
$Ker\,f=f^{-1}(\{O_{H}\})$ SG de G

Remarque f injective si... ?

$f(x)=f(y)\Leftrightarrow f(x\times y^{-1})=0$ ie f injective $\Leftrightarrow Ker\,f=\{1_{G}\}$

Exemples :

ln isomorphisme de $(\mathbb {R} _{+}^{*},\times )$ sur $(\mathbb {R} ,\times )$ ; $exp=(ln)^{-1}$
$\sigma :{\mathcal {S}}_{n}\to \{-1,1\}\,;\,\sigma (f)=(-1)^{N_{f}}$ avec $N_{f}=Card\{(i,j)\in [[1,n]]^{2}/i<j,f(i)>f(j)\}$ (nombre d'inversions)
$\det :GL_{n}(\mathbb {C} )\to \mathbb {C} ^{*}$