Utilisateur:RChay/Brouillon

Ellipse

$r(\theta )={p \over 1+e\cos \theta }$

Aphélie et périhélie

La distance au foyer de l'ellipse est minimale quand $\cos \theta =1$ :

$r_{min}=r_{P}={p \over 1+e}$

La distance au foyer de l'ellipse est maximale quand $\cos \theta =-1$ :

$r_{max}=r_{A}={p \over 1-e}$

Demi grand axe a

$r_{min}+r_{max}=2a={p \over 1+e}+{p \over 1-e}={2p \over 1-e^{2}}$

$a={p \over 1-e^{2}}$

Distance focale c

$c=a-r_{m}in={p \over 1-e^{2}}-{p \over 1+e}={p \over 1-e^{2}}-{p(1-e) \over (1+e)(1-e)}={p-p+pe \over 1-e^{2}}$

$c={pe \over 1-e^{2}}=a\,e$

Excentricité

$e={c \over a}$

$r_{P}=a-c=a-ae=a(1-e)$

$r_{A}=a+c=a+ae=a(1+e)$

Demi petit axe b

Pour une ellipse, on a :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}={p^{2} \over (1-e^{2})^{2}}-{p^{2}e^{2} \over (1-e^{2})^{2}}={p^{2}(1-e^{2}) \over (1-e^{2})^{2}}={p^{2} \over (1-e^{2})}$

$b={p \over {\sqrt {(1-e^{2})}}}=p{\sqrt {a \over p}}={\sqrt {ap}}$

Surface balayée pendant une période

Vitesse aérolaire

${dS \over dt}={C \over 2}$

Pendant une période T : $S=\pi \,a\,b={1 \over 2}C\,T$

$T^{2}={4\pi ^{2}a^{2}b^{2} \over C^{2}}={4\pi ^{2}a^{2}ap \over C^{2}}={4\pi ^{2}a^{3}m \over k}$

$T=2\pi {\sqrt {ma^{3} \over k}}$

Troisième loi de Kepler

${T^{2} \over a^{3}}={4\pi ^{2}m \over k}={4\pi ^{2}m \over k}$